Bloquée pour mon Dm

[Revolution]

Bonjour !
Je fais appel a ce forum pour résoudre un problème :
Je suis en Terminale et j'ai un devoir Maison sur les suites à faire.
Voici l'énoncé :

On considère les suites (Un) et (Vn) définies sur IN par U0 = 3 et les relations :

- Un+1 = (Un+Vn) / 2 ;
- Vn = 7/Un

Question : Justifier par récurrence que pour tout n de IN, Un > 0.

Initialisation :
U0 =3 > 0
U1 = 8 / 3 > 0
La propriété au rang 0 et 1 est vrai, il y a initialisation.

Hérédité :
Si Un > 0, alors Un+1 > 0
Soit Up, le résultat de la suite au rang p
Up>0 donc Up+1>0

(Up + Vp) / 2 > 0
On remplace Vp par 7/Up
(Up + (7/Up)) / 2 > 0

On multiplie par 2 et on obtient : Up + (7/Up)
Seulement voilà, je suis bloqué ici car si je soustrait 7/Up, cela fera Up > -7/Up et le problème ne sera pas résolu.
Y-aurait t-il quelqu'un pouvant m'aider ?
Cordialement
Revolution

[fatal_error]

slt,

si u_n est positif, alors v_n est positif
et si v_n est positif, alors u_n+v_n est positif (et a fortiori (u_n+v_n)/2 aussi...), donc u_n positif implique u_(n+1) positif

[Revolution]

Est-ce un raisonnement par récurrence ? Car j'ai vu avec mon professeur de maths qu'il faut répéter toujours le schéma Initialisation - Hérédité - Conclusion.

[fatal_error]

respecte les conseils de ton prof et vois éventuellement si ce que je te propose peut (ou pas) s'incorporer dans ta démarche de récurrence

[LB2]

Est-ce un raisonnement par récurrence ? Car j'ai vu avec mon professeur de maths qu'il faut répéter toujours le schéma Initialisation - Hérédité - Conclusion.

Oui tu as tout à fait raison.
fatal_error te donnait la partie importante du raisonnement par récurrence (celle qui va changer à chaque récurrence), la façon de démontrer l'hérédité.

Il y a un problème avec ce que tu as écrit auparavant dans ta preuve

"Hérédité :
Si Un > 0, alors Un+1 > 0
Soit Up, le résultat de la suite au rang p
Up>0 donc Up+1>0
"

Quand tu écris "Up>0 donc U(p+1)>0", j'imagine que tu voulais dire "Supposons Up>0, Montrons U(p+1)>0".
Sinon, on a l'impression que tu as démontré U(p+1)>0, ce qui n'est absolument pas le cas, puisque c'est le but de ton hérédité.
Ta rédaction est donc totalement à revoir car elle pose des problèmes de logique.
Attention également à l'utilisation des symboles => et <=> à manipuler à bon escient.