Exercice

[Niki]

Bonjour j'ai problème et j'ai besoin d'aide : on désigne S la transformation du plan dans lui-même qui à tout point M daffixe z associe le point daffixe
z'=(1+i )z-i
1) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation S . On notera A le pts invariant de S.
Bon le point je les trouve ces {1}
En supposant M différents A, donne une mesure de l'angle (AM vecteur MM' vecteur), en déduit la nature du triangle AMM'.
J'ai trouvé l'angle qui Est π/2 et la nature qui est un triangle rectangle isocèle en M.
2) on me demande de déterminer limage D' par S de la droite d'equation y=x .
a) montre qu'il existe un point B du plan distinct de A et un seul tel que les affixes Z0 de b et Z' de B'=S(B) soient liée part la relation z0×z'0=1 j'ai besoin de vaut idées pour finir l'exercice.

[Niki]

Heho y'a quelqu'un

[Niki]

Bonjour j'ai problème et j'ai besoin d'aide : on désigne S la transformation du plan dans lui-même qui à tout point M daffixe z associe le point daffixe
z'=(1+i )z-i
1) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation S . On notera A le pts invariant de S.
Bon le point je les trouve ces {1}
En supposant M différents A, donne une mesure de l'angle (AM vecteur MM' vecteur), en déduit la nature du triangle AMM'.
J'ai trouvé l'angle qui Est π/2 et la nature qui est un triangle rectangle isocèle en M.
2) on me demande de déterminer limage D' par S de la droite d'equation y=x .
a) montre qu'il existe un point B du plan distinct de A et un seul tel que les affixes Z0 de b et Z' de B'=S(B) soient liée part la relation z0×z'0=1 j'ai besoin de vaut idées pour finir l'exercice.

[Naruto30]

Bonjour

Avez-vous vu les homothéties et rotations ? En effet pour la nature de la transformation S c'est la composition d'une homothétie de centre 1 et de rapport racine de 2 avec une rotation de centre 1 et d'angle pi/4.

[Naruto30]

Pour la question 2) remarquez que les points de la droite y=x ont une affixe de la forme z=re*(i*pi/4) avec r réel. Ensuite calculer le z' correspondant et interprétez le géométriquement.

[Niki]

Si sa ne vous pas de problème jaimerai que vous m'explique la procédure qui nous a conduit à lhomothetie.

[Naruto30]

z'-1=(1+i)(z-1). Or (1+i)=racine de 2*e(i*pi/4). Pour passer de la longueur de M' à (1,0) à celle de M à (1,0) on multiplie par racine de 2 donc ce n'est pas seulement une rotation (conserve les longueurs).

[Naruto30]

De manière plus générale toute transformation de la forme z'=az+b avec a et b complexes est la composition d'une rotation et d'une homothétie.

[Niki]

Z=√2eiπ/4=1+i
Si je le remplacé dans z'=(1+i)(1+i)-i=i
z'=i

[Naruto30]

Vous parlez de la question 2) sur la droite y=x ?
Car dans ce cas le point que vous venez de prendre n'est qu'un point parmi d'autres de la droite.
L'expression générale est Z=r*e(i*pi/4) avec r parcourant l'ensemble des réels.
On obtient z'=(√2r-1)i.

[Niki]

Donc quel est limage D' par S

[Naruto30]

z' est l'ensemble des points de coordonnées (0,√2r-1)
r parcoure l'ensemble des réels donc il en est de même de √2r-1.
Ainsi D' est l'axe des ordonnées. Est-ce claire ?

[Niki]

Non; il y'a certains détails qui mechape toujours allons -y étape par étape, la question 2) on me demande de déterminer limage D' par S de la droite d'equation y=x .
Vous avez dis on que les points de la droite y=x ont une affixe de la forme z=re*(i*pi/4) avec r réel. Ensuite calculer le z' correspondant et interprét. J'ai calculer z' et jai eu z'=i maintenant je dois trouver limage de D par S de la droite d'équation D y=x (Interprétation)

[Naruto30]

Quand vous avez calculé z' vous avez pris le point z=√2eiπ/4 (un cas particulier où r=√2 c'est à dire le point (1,1) de la droite )c'est pourquoi vous avez obtenu i. Le r que je considère est un réel quelconque ce qui permet d'engendrer toute la droite. Donc on obtient z'=(√2r-1)i.

Je vais vous donner quelques exemples:
- si vous voulez décrire le cercle unité vous allez dire que c'est l'ensemble des points de la forme z=e(i*theta) avec theta entre 0 et 2pi.
- si vous voulez décrire le disque unité allez dire que c'est l'ensemble des points de la forme z=re(i*theta) avec theta entre 0 et 2pi et r un réel de valeur absolue inférieur ou égal à 1.
- si vous voulez décrire la droite y=-x vous allez dire que c'est l'ensemble des points de la forme z=re(i*3pi/4) avec r réel.

[Niki]

On m'avait montré une solution mais je n'ai pas compris et ces simple mais seul une figure peut m'aidé à bien métrise la partie voilà :
Soit O (0;0) et B ( 1;-1) appartenant à D ici je ne sais pas comment ils ont eu (0;0) et (1;-1)
ZD,=i ce qui implique que O (0;-1) j'ai pas bien compris; ZB'=i et B'=(0;1)
Donc ils ont dit que limage de D est l'axe des ordonné x=0 vous voyez j'ai besoin des explications sincère.

[Naruto30]

Je vais détailler pourquoi les points de D sont ceux de la forme z=r*e(ipi/4).
On écrit z sous la forme z=a+ib. Appartenir à droite y=x signifie que l'abscisse est égale à l'ordonnée donc b=a.
D'où z=a+ia=(1+i)a=a√2eiπ/4. On pose r=√2a. Comme a parcourt l'ensemble des réels r aussi. Jusque là est-ce que ça va ? (pour l'instant je ne fais que décrire ce que signifie appartenir à D en termes d'affixe).

[Niki]

Ouï cv un peut.

[Naruto30]

Bonsoir

Ensuite on prend un point quelconque de D de la forme z=re*(i*pi/4) (d'après ce qui précède)
On regarde ce que devient ce point après transformation donc on calcule z'=S(z)=(√2r-1)i. Ceci est l'affixe du point après transformation.

D' est l'ensemble de points z' c'est à dire l'ensemble des points de la forme (√2r-1)i=(√2r-1)*(0,1)=(0,√2r-1)
(en identifiant i au point (0,1)) ce qui est la droite des ordonnées car √2r-1 parcourt toutes les valeurs réelles.

[Niki]

Que ce que sa veux dire << parcourir tout les valeurs >>
Et comment vs avez calculer z'=S(z) .
Svp j'ai plus beaucoup de temps vs pouvez me faire avec des Explications claire la question 2).