J'ai réalisé une conjecture que je n'arrive pas à démontrer. Quelqu'un pourrait m'aider à démontrer cela ? Merci d'avance !
Egalité coefficients binomiaux à prouver
3 messages
- Page 1 sur 1
Egalité coefficients binomiaux à prouver
par XFactor » 30 Sep 2019, 21:11
Bonsoir,
J'ai réalisé une conjecture que je n'arrive pas à démontrer. Quelqu'un pourrait m'aider à démontrer cela ? Merci d'avance !
\sum_{k=0}^{n-1}{\begin{pmatrix}<br />2n-1\\ <br />2k<br />\end{pmatrix}})
J'ai réalisé une conjecture que je n'arrive pas à démontrer. Quelqu'un pourrait m'aider à démontrer cela ? Merci d'avance !
Re: Egalité coefficients binomiaux à prouver
par fatal_error » 01 Oct 2019, 11:56
slt,
j'ai une méthode pas très élégante parce que calculatoire mais bon...
on peut calculer les deux sommes... et constater qu'elles valent pareil.
je commence par la plus simple
on peut étudier la série génératrice = \sum_k a_k x^k)
et remarquer que + A(-x) = \sum_k a_k X^k(1+(-1)^k))
et en particulier, quand k est pair, on a
et 0 pour k impair.
idem + A(-x)}{2} = \sum_k a_{2k} X^{2k})
pour X = 1, on a alors
 + A(-1)}{2} = \sum_k a_{2k})
et si on pose
et qu'on somme jusqu'à 2n-1, on a alors via le binome de newton
 = 2^{2n-1})
 = 0)
et on déduit
maintenant pour
on veut cette fois faire disparaitre les termes pairs.
on remarque que (1): pour = x \sum_k a_kX^k)
on a
 - B(-x) = \sum_k a_k X^{k+1}(1+(-1)^{k+1}))
et du coup même chose mais on garde les termes de k impair
 - B(-x) = \sum_k a_{2k+1} X^{2k+2}(1+(-1)^{2k+2}))
ensuite, si tu dérives par rapport à X, tu fais apparaitre k+1...que je coupe en k et 1
(2):
 - B'(-x) = 2\sum_k ka_{2k+1} X^{2k+1}(1+(-1)^{2k+2}) + 2\sum_k a_{2k+1} X^{2k+1}(1+(-1)^{2k+2}))
En posant (depuis (1))
il vient = x(1+x)^{2n})
, que tu sais dériver
Enfin, (2) évalué en
,
 - B'(-1)}{2} = S + \sum_k a_{2k+1} X^{2k+1})
ne devrait plus te poser de problème
puis tu déduis S
j'ai une méthode pas très élégante parce que calculatoire mais bon...
on peut calculer les deux sommes... et constater qu'elles valent pareil.
je commence par la plus simple
on peut étudier la série génératrice
et remarquer que
et en particulier, quand k est pair, on a
idem
pour X = 1, on a alors
et si on pose
et on déduit
maintenant pour
on veut cette fois faire disparaitre les termes pairs.
on remarque que (1): pour
on a
et du coup même chose mais on garde les termes de k impair
ensuite, si tu dérives par rapport à X, tu fais apparaitre k+1...que je coupe en k et 1
(2):
En posant (depuis (1))
il vient
Enfin, (2) évalué en
puis tu déduis S
la vie est une fête 
Re: Egalité coefficients binomiaux à prouver
par XFactor » 01 Oct 2019, 18:13
Merci beaucoup pour la démonstration!
3 messages
- Page 1 sur 1
Qui est en ligne
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 46 invités
Tu pars déja ?
Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !
Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Identification
Pas encore inscrit ?
Ou identifiez-vous :