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Olympiades mathématiques, énigmes et défis
MMu
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Klass

par MMu » 22 Sep 2019, 12:40

Soient un ensemble non vide et une fonction injective telle que
soit un ensemble fini (Rappel : ) .
On note la composition des fonctions :
Montrer que est divisible par .. :frime:



vladi
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Re: Klass

par vladi » 22 Sep 2019, 17:26

bonjour

je me trompe peut être mais

pour i=1 c'est évident

pour i>1

en notant avec

on note la corestriction de à

pour tout i>1 alors et donc effectivement n divise n

MMu
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Re: Klass

par MMu » 22 Sep 2019, 18:12

vladi a écrit:bonjour

je me trompe peut être mais

pour i=1 c'est évident

pour i>1

en notant avec

on note la corestriction de à

pour tout i>1 alors et donc effectivement n divise n

Tu te trompes ..
Par ex signifie et

pascal16
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Re: Klass

par pascal16 » 22 Sep 2019, 20:26

E a forcément une infinité d'élément pour que ce soit possible.
si card (E-f(E))=1, tas en fait le problème qui ressemble à l’hôtel de Hilbert.
dans un hôtel complet mais avec une infinité de chambres, pour libérer une chambre, l'occupant de la première chambre va dans la seconde, le second dans la troisième...
ainsi la fonction est injective et Card (E-f(E))=1, il y a 1 chambre libre (sans antécédent)

si dans l’hôtel on libère directement 2 chambres, a chaque étape, 2 chambres se libéreraient, et en n étapes, on aurait 2*n chambres de libres, soit card (E-f(E))=2n.

vladi
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Re: Klass

par vladi » 23 Sep 2019, 01:42

pascal16 a écrit:E a forcément une infinité d'élément pour que ce soit possible.


mais l'énoncé dit que E est non vide (il n'interdit pas qu'il est fini)

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Re: Klass

par GaBuZoMeu » 23 Sep 2019, 06:10

Et alors ? L'ensemble vide est bien fini, et son cardinal est multiple de , quel que soit l'entier .

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Re: Klass

par vladi » 23 Sep 2019, 06:41

GaBuZoMeu a écrit:Et alors ? L'ensemble vide est bien fini, et son cardinal est multiple de , quel que soit l'entier .


Pascal16 dit qu'il faut que E soit infini

je lis l'énoncé mais je ne vois pas qu'il parle de E infini (on sait juste qu'il n'est pas vide)

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Re: Klass

par GaBuZoMeu » 23 Sep 2019, 08:17

Ce sont des précautions inutiles. On n'a pas besoin de dire que est non vide, et on n'a pas besoin de dire que est infini.
L'énoncé "Si est injective et si est de cardinal fini , alors pour tout entier naturel , est de cardinal " est vrai sans aucune restriction sur .

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Re: Klass

par MMu » 23 Sep 2019, 11:10

@pascal16 : l'hôtel de Hilbert est dénombrable. Mais E peut ne pas l'être ..

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Re: Klass

par MMu » 28 Sep 2019, 09:55

Nobody .....

pascal16
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Re: Klass

par pascal16 » 28 Sep 2019, 10:26

GaBuZoMeu a écrit:... alors pour tout entier naturel , est de cardinal " est vrai sans aucune restriction sur .


C'est donc pour moi que une partie de E qui est de cardinal "n*k", donc non majoré, soit au minimum infinie dénombrable. E a a priori le droit de ne pas être dénombrable.


la tête du graph :
Image

il faut s'appuyer su le fait que si k éléments n'ont pas d'antécédents à l'étape n, à l'étape suivante, les éléments n'ayant pas d'image sont soient ceux qui n'en avaient déjà pas, soient ceux qui en avaient. et ceux qui en avaient doivent être au nombre de k car sinon, deux élément auraient la même image.

GaBuZoMeu
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Re: Klass

par GaBuZoMeu » 28 Sep 2019, 13:21

pascal16 a écrit:une partie de E qui est de cardinal "n*k", donc non majoré,

Déduction hâtive. Qu'est-ce qui empêche d'être nul ?
Je le répète, aucune restriction sur .

Quant à la question :
Soit une partie de et une application injective de domaine . Alors induit une bijection de sur .
Application pour injective, et : pour tout entier naturel , a même cardinal que .

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