Pourquoi les arguments de fonctions sont-ils adimensionnels?

[galaxy]

Bonjour, quelqu'un pourrait me dire pourquoi les arguments des fonctions (exp,sin,cos,log..) n'ont jamais de dimensions en physique (exp(wt) , log(I/I0)...)
C'est un point très utile dans l'analyse dimensionnelle mais je n'ai jamais su pourquoi cette règle s'applique.
Merci

[Yezu]

Salut,

On a pour tout ,

Si l'argument qui rentre dans l'exponentielle a des unités, on est en train d'ajouter des grandeurs physiques qui n'ont pas les mêmes unités.
J'ai juste pris comme exemple l'expo, mais je pense que tu as compris.

[galaxy]

d'accord merci, je ne m'attendais pas a ce que la réponse soit si évidente ^^

[Benjamin]

Salut,

Je déterre un mort, je ne peux m'empêcher de corriger une erreur si quelqu'un d'autre tombe dessus. L'explication donnée est fausse.

1/x s'écrit aussi 1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+... et on ne s'interdit pas de faire l'inverse d'une vitesse ! Pareil avec la racine carrée. Il se trouve même que racine(2E/m), c'est une racine de Joule par kg et que ça fait des mètres par seconde.

Plus fondamentalement, et pour revenir à la question, un cosinus s'applique à un angle. Par définition d'un angle, alpha=l/r où l est le longueur de l'arc de cercle de rayon r. Etant un rapport de longueur, c'est sans dimension. Dans la construction d'une relation physique il est donc cohérent d'avoir une mesure d'angle dans un cosinus ou sinus.
Par ailleurs, exp(a+b) = exp(a)*exp(b) et pour que ça marche, il faut que a et b soient sans dimension. Pareil pour le log avec log(a*b)=log(a+b).

Pour les autres potentielles fonctions, il faut voir au cas par cas.

PS (édit suite à réponse) : il existe l'échelle des décibels définit avec le log. 10*log(puissance/1W) ça a comme unité le dBW. Et par abus, on fera juste 10log(P). De même, on peut faire 10^(P/10). Si P est exprimé en dBW, on trouve des Watt à la fin. Si P est exprimé en dBm, on trouve des milliwatts, etc... Ça reste homogène à une puissance. Et attention avec les règles de calcul derrière
5dBW+5dBW, c'est égal à 8dBW xD

[Yezu]

Salut,

Attention quand même, ce n'est pas comme cela qu'on définit le dBW. L'argument est bien sans dimensions.
On a plutôt .

[Benjamin]

J'avoue, je modifie ma réponse
Merci !

[Yezu]

Conçernant l'invalidité de mon argument, tu as raison et c'est après toutes ces années que je me rend compte que l'argument que j'employais souvent était invalide ^^
Mais j'ai l'impression que c'est par une équation physique que l'on obtient ces trucs, autrement dit, sans une équation physique qui relie des dimensions, on ne peut pas aussi simplement définir une fonction d'une grandeur avec unité.
Par exemple dans le cadre d'un oscillateur harmonique d'énergie , on montre que l'amplitude du mouvement satisfait l'équation :

et donc définit une distance et donc les unités avec la racine font un sens.

Merci de ta correction en tout cas !

[Benjamin]

N'hésite pas à relire mon édit si tu n'as pas vu pour l'exp et le log ^^
J'avoue que sortir de son insomnie à 3h30 du mat' n'aide pas toujours à faire des réponses tout à la fois courtoises et claires ^^

[Yezu]

Oui j'ai vu, ton argument fait clairement plus de sens !

Ta réponse était bien courtoise et claire, la sortie d'insomnie n'a pas eu d'effets néfastes ahah

[GaBuZoMeu]

Attention, il ne faut pas confondre "avoir une dimension" et "avoir une unité" pour une grandeur.
Les mesures d'angles n'ont pas de dimension, mais ont bien une unité (radian, ou degré, ou grade).
Les fonctions trigonométriques mathématiques (cos, sin ..) sont pour les mesures d'angles exprimées dans l'unité "radian".

[Skullkid]

Bonjour,

Je ne suis pas sûr qu'on puisse dire que l'explication donnée par Yezu soit fausse, l'exemple que Benjamin donne en contre-argument utilise une série qui a un rayon de convergence fini. L'égalité n'est vraie que pour x suffisamment proche de 1, ce qui exige de fait que x soit sans dimension. À partir du moment où on doit comparer deux grandeurs, celles-ci doivent avoir même dimension (ou alors l'une d'entre elles est nulle).

[Yezu]

Salut,

Vous me mettez tous dans le doute ^^
J'y repenserai en rentrant ce soir (11h ici).

[Benjamin]

Bonjour,

Je ne suis pas sûr qu'on puisse dire que l'explication donnée par Yezu soit fausse, l'exemple que Benjamin donne en contre-argument utilise une série qui a un rayon de convergence fini. L'égalité n'est vraie que pour x suffisamment proche de 1, ce qui exige de fait que x soit sans dimension. À partir du moment où on doit comparer deux grandeurs, celles-ci doivent avoir même dimension (ou alors l'une d'entre elles est nulle).

Et pour racine carrée, ça ne marche pas non plus ?
Sinon, il me semblait avoir fait attention de bien parler de dimensions et d'unités aux endroits appropriés ^^

[GaBuZoMeu]

@Benjamin : ma remarque était en direction de Yezu, qui parle bien de "grandeur sans unité".

[Skullkid]

Et pour racine carrée, ça ne marche pas non plus ?

Oui, la série entière a aussi un rayon de convergence fini. Sauf erreur, c'est le cas pour tous les développements en série des puissances non entières.