Etude d'une suite

[Nanos]

Bonjour à tous, je suis nouveau sur ce forum, j'espère que cela se passera bien.
Je bloque sur un exercice qui semble vraiment classique, ce qui me fruste énormément.

Soit u = (un) une suite bornée de nombres réels telle que



Montrer que lim un = 0.

J'ai tenté d'exploiter le fait que la limite au dessus était égale à 0 par la définition usant les Epsilons, le fait que un est bornée mais rien n'y fait. J'indique aussi que je me suis un peu fixé l'idée de démontrer la convergence vers 0 de un par la limsup et la liminf, et donc montrer que 0 >= limsup(un) et liminf(un) >= 0 (je ne sais pas si c'est la meilleure approche, mais en général ça semble bien marcher).

Auriez-vous une piste sur laquelle m'aiguiller ? Je ne demande en aucun cas la réponse bien entendu
Merci.

[rog974]

Bonjour.

On peut montrer que la suite admet au moins une valeur d'adhérence (d'après ...). Comme la limite , on peut avoir une idée des (ou de la...) valeur(s) d'adhérence.
Ainsi, la suite est bornée et admet une unique valeur d'adhérence, elle est donc...

Voilà pour un début...

[Nanos]

Oh très bien, je vais explorer cette piste, je reviens vers vous si j'ai d'autres questions ou si je n'ai pas réussi.
Merci beaucoup, et bonne journée.

[Nanos]

J'ai essayé de jouer avec les inégalités triangulaires pour montrer que si a est valeur d'adhérence de un, alors pour tout e > 0, on obtient |a| < e mais il me reste toujours un terme qui bloque tout...

Pour le moment je ne me préoccupe pas du N dans la définition de la convergence avec les epsilons, on pourra le trouver par la suite.

J'ai tenté d'écrire :



mais le u_n+1 à la fin m'embête ...

[rog974]

Le théorème de Bolzano-Weierstrass te dit-il quelque chose ?

[Nanos]

Oui et sa généralisation topologique : dans un espace métrique compact X, toute suite à valeur dans X possède au moins une sous-suite convergente. Comme (un) est bornée, on peut dire que (un) prend ses valeurs dans le compact [-M, M] (si M est bien sur la valeur qui borne un). Mais je ne vois pas comment prouver que les sous-suites convergentes de la suite convergent bien vers 0 et pas une autre valeur...

[Nanos]

Avec beaucoup d'aide d'un intervenant, j'y suis parvenu. Merci pour votre aide.
Bonne journée.

[rog974]

Comme est bornée, d'après Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite qui converge vers . Aussi, la suite est une sous-suite de .
Que peut-on en déduire sur la limite de ? Sur les valeurs possibles de ?

Oups, l'intervenant a résolu la question...

[Nanos]

Il n'y aucun problème, si d'autres personnes ont cet exercice, ils pourront bénéficier d'un guide
J'aurais dû justement mettre l'idée que vous venez d'écrire.

[Ben314]

Salut,
Juste un mot pour signaler que ça :

. . . il existe une sous-suite qui converge vers .
Aussi, la suite est une sous-suite de .

c'est une énorme connerie.
Le fait que soit une suite extraite de signifie qu'il existe strictement croissante telle que, pour tout , on ait .
Et si on prend dans l'expression ça donne qui n'a aucune raison d'être égal à . (il n'y a bien sûr aucune raison que .

[GaBuZoMeu]

Il mes semble qu'on peut raisonner sur et .

[Ben314]

Pour moi, la façon la plus raisonnable de procéder, c'est ça :
Ensuite, si est une des valeur d'adhérence de alors il existe strictement croissante telle que ce qui implique que .
Or, le fait que implique que ce qui, en sommant avec nous dit que c'est à dire que est aussi valeur d'adhérence de .
L'ensemble des valeurs d'adhérences de est donc non vide (Bolzano-Weierstrass) ; borné (par les mêmes bornes que la suite elle-même) et stable par la fonction .
On en déduit alors aisément que

[GaBuZoMeu]

Bah, ça revient en gros au même que le raisonnement avec et , non ? On a si , donc et on ne peut pas avoir car dans ce cas si alors .

[Ben314]

Bah, ça revient en gros au même que le raisonnement avec et , non ?

Oui, c'est exactement la même chose modulo que c'est un soupçon plus court avec les limites sup et inf, mais que ça demande un soupçon plus de bagage. . .

Le problème en fait, c'est que j'ai mis plus de 5 minutes à taper mon laïus et que j'ai pas vérifié s'il y en avait un nouveau avant de l'envoyer . . . d'où la redondance . . .

[GaBuZoMeu]

On est bien d'accord !