Il semblerait que tu n'as pas le courage de faire cette démonstration dans le même style que ton fameux livre !
Je me permets de te donner une solution assez simple où on n'a pas besoin de jongler avec les comparaisons des images de deux ou trois termes :
est un intervalle de réels,
est continue sur
et injective.
Soit
\in I^2\;\mid\;x<y\bigr\})
. Selon que
a 0,1,2 bornes finies,
est un demi-plan ou intersection de deux demi-plans ou intersection de trois demis-plans.
En particulier,
est un convexe de
.
La relation
=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y})
définit une fonction continue sur
et on se propose de démontrer que
)
est un convexe de
.
Pour cela, soit
\in(\Phi(\Delta))^2,\;u<w<v)
. Par exemple,
,\;v=\Phi(b,b'),\;(a,a')\in\Delta,\;(b,b')\in\Delta)
.
Soit
telle que
=(1-t)(a,a')+t(b,b'))
.
est continue sur
, à valeurs dans
à cause de la convexité.
Par conséquent,
est continue sur
à valeurs réelles et
=\Phi(\varphi(0))=\Phi(a,a')=u,\;g(1)=v)
.
Par théorème des valeurs intermédiaires il existe
tel que
=w)
. En posant
=\varphi(t_0))
on a
\in\Delta,\;w=g(t_0)=\Phi(c,c')\in\Phi(\Delta))
.
Enfin l'injectivité de
implique
)
.
Ainsi, on a un convexe de
ne contenant pas
: il est forcément inclus dans
ou
. J'ai ainsi démontré que
est strictement monotone.
par