Sommes telescopique
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Matt34200
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par Matt34200 » 14 Sep 2019, 09:53
Bonjour j'ai un énoncé sur lequel je bloque : Soient a et b deux nombres réels
1) Montrer pour tout n supérieur ou égale à 0 a^n - b^n = ( a - b ) facteur de sigma de k = 0 à n-1 de a^n-1-k b^k
j'ai développé mon membre de droite et ait obtenu sigma de k=0 à n-1 de a^n-k b ^k - sigma de k=0 à n-1 de a^n-k-1 b^k+1 , je sais qu'il y a des changements d'indice à faire mais je sais pas si il y en a 2 ou 3 à faire vu le nombre de variables , merci de m'aider svp
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 14 Sep 2019, 10:30
Salut.
Soit :
Posons le changement d'indice
dans la première somme on obtient :
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fatal_error
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par fatal_error » 14 Sep 2019, 10:42
hi,
ca doit être les polynomes en ce moment en cours..
tu peux faire une division "polynomiale" en considérant X = a
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a^n - b^n |a - b
0 + a^{n-1}b - b^n |a^{n-1} + a^{n-2}b +.+ a^{n-(n-1)}b^{n-2} + 1b^{n-1}
0+0+a^{n-2}b^2 - b^n |
... |
0+.+0+a^{n-(n-1)}b^{n-1} - b^n|
0+.+0+0+1b^n - b^n |
d'où ta somme
vu que t'as considéré X=a t'aurais aussi pu écrire ta somme dans l'autre sens pour avoir les puissances croissantes de a... m'enfin
Aussi: attention au parenthèsage!!!
a^n-k-1 != a^(n-k-1)
prendre a= 0 et k = 0: a^n-k-1 = -1, a^(n-k-1) = 0
la vie est une fête
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Kolis
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par Kolis » 14 Sep 2019, 10:57
Il y a une solution plus rapide que le changement d'indice dans une sommation.
Si
(le cas
est immédiat) tu te retrouves avec la somme des termes d'une suite géométrique de raison
et il suffit (IL FAUT) de connaître la formule donnant une telle somme.
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Matt34200
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par Matt34200 » 14 Sep 2019, 18:05
j'ai de nouveau planché tout à l'heure et c'est le fait de ne pas avoir vu que n-k-1 = n - ( k+1 ) qui m'a bloqué , je vous remercie pour ces réponses , et non je n'ai pas encore vu les polynômes , nous sommes aux sigmas et pi , et quelle et quelle est la formule de la somme des termes d'une suite géométrique de raison a/b ? je ne l'ai pas vu
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moi35
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par moi35 » 17 Sep 2019, 15:56
Bonjour
sérieux ? tu n'as pas vu les suites géométriques et leurs sommes en première ?
ça ne te dit rien ?
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