[DM] Dérivées

[YounesLahouiti]

On considère la fonction f définie sur R par f(x)= 2 - 2(1 - x) / x^2 + 1. On note C f sa courbe representative

1. Calculer f'(x) et verifier que pour tout réel x, f'(x)= -2(x^2-2x-1)/(x^2 +1)^2

En utilisant la formule (u/v)'= u'v-uv'/v^2 on obtient
f'(x)= -(2x^2-4x-2)/(x^2 + 1)^2
f'(x)= -2x^2+4x+2/(x^2 + 1)^2
Après j'ai devolppé l'autre formule et on obtient le même résultat

2. Étudier le signe de f'(x) puis dresser le tableau de variation de f. (On demande les valeurs des extremums à une valeur arrondie au centième et non pas une valeur exacte.

Du coup on sait que (x^2 +1)^2 > 0 (car une nombre peu importe son signe est 0). Du coup le signe est -2x^2+4x+2

Δ= 32 , Δ>0 donc 2 solutions.
x1: -4+√(32)/2×(2) = -1-√(2)
x2: -1+√(2)

Après a<0 donc f'(x) est negatif à l'exterieur des racines etc. Si f'(x) est negatif la courbe f(x) est décroissante et à l'inverse si elle est positive, f(x) est croissant.
f(-1-V(2))≈ 1,58
f(-1+V(2))≈ 4,41

3 .Determiner l'equation réduite de la tangente T à Cf au point A d'abscisse 1.

Facile,
f(1) = 2
f'(1)= 1
y=f'(1)(x-1)+f(1)
y= x+1
4. (Là ou je bloque)
a) On veut montrer qu'il existe un point B de Cf tel que la tangente T0 à Cf en B soit parallèle à la droite Δ d'équation y= -x

Si le coeff. directeur de f'(x) est le même que celui de Δ alors ils sont parallèles:
-2x^2+4x+×/(x^2 + 1) = -1 (?)

b) Montrer que le probleme revient a résoudre x^4+4x+3=0
(Je bloque)

c) Verifier que x^4+4x+3= (x+1)^2(x^2-2x+3)
J'ai verifié et c'est le cas

d) Conclure

(Je bloque la aussi)

[danyL]

-(2x^2+4x+2 ) /(x^2 + 1)^2 = -1 (?)

oui c'est ça, en n'oubliant pas le carré au dénominateur

si tu développes tu obtiens bien x^4+4x+3=0

pour résoudre cette équation, utiliser la forme équivalente donnée en c)
(x+1)^2(x^2-2x+3) = 0

si tu trouves des solutions à cette équation, alors cela veut dire que le point B existe

[vam]

Bonjour
sauf qu'écrire (dans le sujet initial) f(x)= 2 - 2(1 - x) / x^2 + 1 veut dire
....attention aux priorités et à l'usage des parenthèses ! ....

[YounesLahouiti]

Du coup:
a)
-2x^2+4x+2/(x^2+1)^2 + 1 = 0
[1 = (x^2+1)^2/(x^2+1)^2]

-2x^2+4x+2+(x^2+1)^2/(x^2+1)=0

x^4+4x+3 = 0/(x^2+1)^2

x^4+4x+3 = 0.

c)
(x+1)^2(x^2-2x+3)
(x^2 + 2x + 1)[Δ1]×(x^2-2x+3)[Δ2] (Alors j'ai evidemment pas marqué Δ1 et Δ2 sur ma copie, c'est just pour la compréhension)
Δ1 = 2^2 - 4×2×1 = 0
Δ = 0 donc 1 solution: -b/2a = -2/2×1 = -1

Δ2 < 0 donc pas de solution

d) Conclure

(Je bloque)

[danyL]

d) conclure

le but des tous les calculs de la question 4 est :

On veut montrer qu'il existe un point B de Cf tel que la tangente T0 à Cf en B soit parallèle à la droite Δ d'équation y= -x

tu as trouvé une valeur x = -1 qui est solution de l'équation
donc le point B existe, il a pour abscisse x = -1 et pour ordonnée f(-1) à calculer
tu peux aussi donner l'équation de la tangente T0 trouvée
et vérifier tes calculs sur un graphique avec une calculette ou geogebra en traçant la courbe Cf, la droite delta, la tangente parallèle T0, le point B