Fonction constante

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mehdi-128
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Fonction constante

par mehdi-128 » 12 Sep 2019, 01:22

Bonsoir,

Soit .
1/ Démontrer que pour tout , il existe et tel que : . On pourra considérer les avec
2/ Démontrer qu'une fonction continue à la fois 1-périodique et -périodique est constante.


Je ne vois pas où mène l'indication de la question 1.
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Tuvasbien
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Re: Fonction constante

par Tuvasbien » 12 Sep 2019, 01:36

Pour tout mais , ces intervalles sont au nombre de et il y a donc il existe tels que pour un certain . Par suite . On peut sans pertes de généralités supposer , on a alors avec et .
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Tuvasbien
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Re: Fonction constante

par Tuvasbien » 12 Sep 2019, 01:51

Pour la 2), est-ce qu'une telle fonction est supposée continue ?

mehdi-128
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Re: Fonction constante

par mehdi-128 » 12 Sep 2019, 02:02

Merci super clair pour la question 1 :mrgreen:

Pour la 2, oui j'avais oublié l'hypothèse de continuité. Pourriez-vous me donner une indication afin que je cherche la solution ?

Tuvasbien
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Re: Fonction constante

par Tuvasbien » 12 Sep 2019, 02:20

Est-ce que tu connais des propriétés qu'ont les sous-groupes de ?

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Re: Fonction constante

par mehdi-128 » 12 Sep 2019, 03:10

Non, le chapitre sur les structures algébriques est bien après dans mon livre. Il n'a pas encore été abordé la notion de groupe.

Mais je ne vois pas le lien entre la question 1 et la périodicité de la fonction

Dans mon livre il est écrit qu'on pourra introduire qui est une période de .

Je ne comprends pas pourquoi déjà c'est une période de .

Tuvasbien
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Re: Fonction constante

par Tuvasbien » 12 Sep 2019, 03:31

Si est une période de , alors par récurrence, l'est également pour tout . Dans notre cas, car est une période, puis car est période. Finalement . D'après la question précédente , montre alors que est dense dans : si avec alors il existe tel que .

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Re: Fonction constante

par mehdi-128 » 12 Sep 2019, 09:04

Ok merci j'ai compris pourquoi est une période de .

Par contre, j'ai du mal avec le , je n'ai pas compris pourquoi.

Par ailleurs, le livre dit de poser

J'aimerais comprendre comment on peut avoir une telle idée soit-même ? Pourquoi poser cela ? :shock:

mehdi-128
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Re: Fonction constante

par mehdi-128 » 12 Sep 2019, 16:49

Je ne comprends rien aux exercices sur le chapitre continuité.

C'est toujours des astuces sorties de nulle part. Des astuces introuvables seul à moins d'être un génie des maths.

Kolis
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Re: Fonction constante

par Kolis » 12 Sep 2019, 18:14

C'est vraiment difficile de voir que tu choisis le multiple entier le plus proche de : combien de fois t'ai-je donné l'idée de voir un dallage où tu te promènes avec des pas de longueur constante ?

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Re: Fonction constante

par mehdi-128 » 12 Sep 2019, 18:59

Dans l'expression , est le multiple entier le plus proche de ?

Quel dessin dois-je faire pour le voir ? Comment représenter ?

Pourquoi on veut le multiple entier le plus proche de ?

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Re: Fonction constante

par mehdi-128 » 12 Sep 2019, 20:29

Je crois avoir compris d'où ça sort.

on a : pour je l'ai redémontré facilement.

Ici, cela donne : pour

Puis, et (trivial)

Je ne comprends pas le dernier point :

Par continuité de en 0, on en déduit

On sait que d'après l'inégalité ci-dessus mais comment en conclure que :?:

mehdi-128
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Re: Fonction constante

par mehdi-128 » 12 Sep 2019, 21:55

Il n'y a pas une coquille ?

C'est pas plutôt : donc

Au lieu de ?

Kolis
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Re: Fonction constante

par Kolis » 13 Sep 2019, 09:18

Je crois qu'on t'a déjà dit : tu suis une drôle de démarche pour demander de l'aide !

Tu poses une question ouverte (ton premier message) et à la première réponse (que tu n'as pas lue d'ailleurs, voir la note ) tu sors la solution de ton livre et demande qu'on te l'explique ! Par exemple ton message sur la "bijection" que tu refuses de terminer parce que tu ne disposes que d'une solution apparemment incomplète...

Bien que ce soit pas recommandé, si tu tiens à faire des exercices en suivant un corrigé, tu es sur un site où les photocopies sont autorisées. Pourquoi, au lieu de questions au goutte à goutte, ne mets-tu pas l'énoncé complet et éventuellement la copie de ton corrigé ? en indiquant les lignes où tu ne comprends pas quelque chose, tu aurais la chance que
......... on ne comprend pas non plus et on te le dit
........ on comprend et on essaye de te l'expliquer.

Tu n'as pas lu la réponse de @TuVasBien car tu te serais rendu comte de la bourde consistant à mettre le principe des tiroirs à l'envers : placer réels dans une réunion disjointe de intervalles est facile (voir la blague bien connue sur la multiplication des pains) et nul besoin d'en placer deux dans un des intervalles.
Le principe des tiroirs c'est l'inverse : on veut disposer objets (et encore faut-il vérifier, ce qui n'a pas été fait, que le compte est bon : un numérotage de à ne suffit pas) dans tiroirs et il est alors indispensable qu'au moins un des tiroirs contienne plus d'un objet).



Mettre l'énoncé complet est une bonne chose ! Contrairement à toi nous ne sommes pas tous collés au mot à mot d'un exercice : voir les questions suivantes permet de répondre de manière plus appropriée !

.......................................................
Maintenant, concernant ton dernier message :
D'abord, donc la limite de la suite constante est .
D'autre part, par continuité, la limite de est et il en résulte .

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Re: Fonction constante

par mehdi-128 » 13 Sep 2019, 12:35

D'accord Kolis, je ferais ça. La solution de Tuvasbien avait l'air plus compliquée que celle de mon livre.

Je n'ai pas compris pourquoi : :?:
Vous utilisez que tend vers pour montrer que ?

La première question a été résolue différemment dans mon livre. Je ne l'ai pas sous la main mais j'essaie de redonner la méthode d'après ma compréhension, je vais peut être manquer de rigueur.

Ordonnons les de sorte que
Supposons qu'il existe tel que

En sommant on obtient :

Mais et donc
D'où une contradiction.

Kolis
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Re: Fonction constante

par Kolis » 13 Sep 2019, 13:41

1. la dernière ligne devrait faire apparaître une minoration de ! Toi tu as une majoration.
2. Si tu ne démontres pas que les sont deux à deux distincts, ta sommation n'est pas correcte.
3. La contradiction prouve seulement que pour tout on a

Je ne vois qui est appelé par ton livre ! Il faudrait mettre des détails si tu veux de l'aide.

mehdi-128
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Re: Fonction constante

par mehdi-128 » 14 Sep 2019, 04:35

Je remets tout. J'ai très bien compris la correction de la question 1, il y a un point qui me bloque dans celle de la question 2.

1/Les valeurs des sont dans . On peut réordonner de manière croissante ces valeurs. Cela nous donne avec . Si pour tout on a : , alors en sommant :



Ce dernier résultat est faux car . Il s'ensuite qu'il existe tel que . En d'autres termes, il existes 2 indices distinctes et dans tels que :


On peut donc prendre : et

2/ Avec les notations précédentes, est non nul car et est irrationnel. De plus est une période de .
Soit . Posons, pour
(J'ai vérifié que en me demandant pourquoi on introduisait ce )

On a : et

(Je ne comprends pas d'où ça sort, pour moi c'est une erreur c'est
)
En faisant tendre vers , par continuité de en on a : . La fonction est donc constante.

(Je n'ai pas compris comment on en déduit . Pour utiliser le caractère séquentiel de la limite ici, il faut bien avoir non ? )
Modifié en dernier par mehdi-128 le 14 Sep 2019, 11:02, modifié 1 fois.

Kolis
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Re: Fonction constante

par Kolis » 14 Sep 2019, 10:53

Même dans la 1) il y a encore un problème : tu montres et . Si il n'y a aucune contradiction.
Je pense donc indispensable d'établir, dès le départ, que les sont deux à deux distincts.

............................
Pour le 2) tu avais aussi demandé d'où sortait l'idée de mais cette question tu aurais dû la poser depuis longtemps. J'ai vu passer sur l'autre site des exercices où tu cherchais à définir les chiffres binaires ou décimaux (les deux en fait) or c'est exactement la même technique. Tu es ainsi en train d'avouer que tu n'avais pas compris les exercices précédents.

Une fois pour toutes :
Dessine une droite représentant les réels.
Place le point et, quelques centimètres plus loin le point .
En prenant égal à peu près à 1cm (ou une largeur de carreau si tu utilises du papier quadrillé), place . Le dernier tel que tu puisses placer à gauche(au sens large) de est bêtement la partie entière de
Ton dessin permet alors de voir que est encadré par ce qui justifie .

La démonstration de : voir mon message précédent, tu as deux expressions pour la limite d'une suite.

mehdi-128
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Re: Fonction constante

par mehdi-128 » 14 Sep 2019, 11:14

J'ai corrigé ma coquille avec l'inégalité stricte dans mon message précédent. Il n'y a donc pas besoin de prendre les distincts au départ.

J'ai fait le dessin j'ai compris. Je l'ai aussi démontré par le calcul : pour
En effet,
Or donc convient.

Du coup, il y a bien une erreur dans mon livre quand ils écrivent : :?:

Car je trouve comme vous car
Ce qui permet bien de conclure que donc par continuité et par caractérisation séquentielle de la limite :

 

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