Bijection

[mehdi-128]

Bonsoir,

Démontrer que la fonction définie sur par définit une bijection continue strictement croissante de son domaine de définition sur . Son application réciproque est-elle continue ?

est continue sur et pour la stricte croissante il suffit d'étudier les cas suivants :




Par contre comment déterminer alors que n'est pas un intervalle ?
Dans mon cours, on donne les images d'intervalle par une fonction continue mais ci ça ne s'applique pas...

[Tuvasbien]

Le mieux est de tracer le graphe de la fonction, je pense que tracer le graphe justifie complètement ta réponse

[mehdi-128]

Ok merci. Ensuite je dois déterminer qui est définie sur



Soit . Normalement je dois résoudre mais comment faire avec une fonction définie avec une accolade ?

[Tuvasbien]

Il y a une erreur, l'image de est , on voit sur le graphe que induit une bijection de dans et une bijection de dans donc il faut définir par morceaux : si , et si , alors .

[mehdi-128]

Excusez moi j'ai corrigé ma coquille, l'intervalle est bien fermé en 2 dans la définition de

On a

[mehdi-128]

Soit . Ainsi car

Soit . Ainsi car

Ainsi :

On remarque que donc n'est pas continue en . Elle n'est donc pas continue sur

[LB2]

Réponse ultrarapide : tu traces le graphe de f. Tu tournes la feuille de 90° et tu vois que sa réciproque "saute" en 1 donc elle n'est pas continue.
Ceci ne remplace bien sûr pas une démonstration