Démonstration par récurrence.

[Bleache]

Bonjour

Notre prof de math nous a donné un exo sur la récurrence. Voici l'ennoncé :

Soit (Un) la suite définie par U0 = 0 et Un+1 = 2Un+1 pour tout n >= 0
Montrer que Un = 2^n-1 pour tout n >= 0

Voici ce que j'ai fais :

Montrons par récurrence sur n >= 0 la propriété : Un = 2^n-1 (Pn)

Initialisation au rang n = 0
U0 = 2^0-1 = 1-1 = 0
(P0) est vraie

Hypothèse de récurrence : On suppose la propriété vraie à un certain rang n>=0

Et je suis bloqué a l'Hérédité

J'ai calculer les premiers termes. Je vois bien que Un+1 = 2Un-1 mais je ne sais pas comment le montrer

Du coup je m'en remets a vous pour m'aider

[mehdi-128]

Salut.

Un+1 = 2Un+1 pour tout n >= 0

Vous êtes sur de l'énoncé ?

[Bleache]

C'est bien ça mais separer Un et le +1 soit 2(Un)+1

[GaBuZoMeu]

À défaut d'utiliser TeX, ce qui serait le mieux, essaie de bien isoler les indices. Par exemple : U(n+1) = 2*U(n) + 1 serait beaucoup plus clair que ce que tu as écrit.

Ensuite pour l'hérédité :
tu supposes P(n) : U(n) = 2^n -1
et tu dois en déduire P(n+1) : U(n+1) = 2^(n+1) -1
en utilisant bien sûr la relation de récurrence qui définit la suite.

[Bleache]

C'est justement ce qu'il me bloque je ne comprend vraiment pas comment faire

[mehdi-128]

Il n'a a aucune difficulté il suffit d'utiliser u(n+1)=2u(n)+1 et de remplacer u(n) par son expression donnée dans l'hypothèse de récurrence.

[Bleache]

Si je fait ce que vous dite je dois obtenir U(n+1) = 2(2^n-1)+1 ?

[mehdi-128]

Il faut développer.

[Bleache]

J'obtiens U(n+1) = 4^n-1. Est ce que je dois "deplacer" l'indice soit faire U(n) = 4^(n-1)-1

[lyceen95]

Si je fait ce que vous dite je dois obtenir ?

Tu dois obtenir ça ? ou bien tu obtiens ça ... et tu ne vois pas où ça nous emmène ?

Ensuite, tu as développé et tu nous parle d'un
Le 4 qui arrive là, il vient de nulle part. Enlève moi ça tout de suite...

Que sais-tu sur par exemple ?

[mehdi-128]

J'obtiens U(n+1) = 4^n-1. Est ce que je dois "deplacer" l'indice soit faire U(n) = 4^(n-1)-1

Revoir les règles de calculs sur les puissance

[Bleache]

Ben, j'obtiens bien U(n+1) = 2(2^n-1)+1
Et bien 2^a*2^b = 2^a+b

Et je viens de comprendre mon erreur en écrivant ça. Désolé pour cette horreur

Donc en développant j'obtiens 2^(n+1)-1

Et grâce a ça je vois où je dois en venir :

U(n+1) = 2^(n+1)-1
<=> U(n) = 2^(n+1-1)-1
<=>U(n) = 2^n-1

Je vous remercie tous

Ps : Comment fait tu Lyceen95 pour bien écrire les calculs pour qu'ils soient bien compréhensible ?