Preuve à une implication
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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beka
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par beka » 31 Aoû 2019, 21:38
Bonsoir tout le monde
je cherche à prouver que quelque soit deux réel a et b dans R
si |a| <1 et |b| <1 alors |a+b| <|1+ab|
je sais pas d'ou commencer , j'aimerais avoir vos idée
Merci d'avance
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Ben314
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par Ben314 » 31 Aoû 2019, 21:47
Salut,
Déjà, vu que |a|<1 et |b|<1 on a |ab|<1x1=1 c'est à dire -1<ab<1 et ça prouve en particulier que 1+ab>0 et donc que |1+ab|=1+ab.
Ensuite, montrer que |a+b| < 1+ab, ça revient très précisément à montrer que -(1+ab) < a+b < 1+ab, c'est à dire que 1+ab+a+b > 0 et que 1+ab-a-b >0 [du fait de la fameuse règle des signes vue au collège, c'est toujours plus simple de montrer qu'un truc est plus grand ou plus petit que 0]
Enfin, pour utiliser cette fameuse règle des signes, il faut factoriser 1+ab+a+b (ainsi que 1+ab-a-b) et là . . . je te laisse un peu chercher . . . mais c'est pas bien difficile.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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beka
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par beka » 31 Aoû 2019, 22:10
Merci infiniment votre réponse était bien claire , j'ai pu démontrer le reste . Merci encore une fois
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beka
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par beka » 31 Aoû 2019, 22:11
Ben314 a écrit:Salut,
Déjà, vu que |a|<1 et |b|<1 on a |ab|<1x1=1 c'est à dire -1<ab<1 et ça prouve en particulier que 1+ab>0 et donc que |1+ab|=1+ab.
Ensuite, montrer que |a+b| < 1+ab, ça revient très précisément à montrer que -(1+ab) < a+b < 1+ab, c'est à dire que 1+ab+a+b > 0 et que 1+ab-a-b >0 [du fait de la fameuse règle des signes vue au collège, c'est toujours plus simple de montrer qu'un truc est plus grand ou plus petit que 0]
Enfin, pour utiliser cette fameuse règle des signes, il faut factoriser 1+ab+a+b (ainsi que 1+ab-a-b) et là . . . je te laisse un peu chercher . . . mais c'est pas bien difficile.
Merci infiniment votre réponse était bien claire , j'ai pu démontrer le reste . Merci encore une fois
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chan79
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par chan79 » 01 Sep 2019, 10:02
beka a écrit:si |a| <1 et |b| <1 alors |a+b| <|1+ab|
salut
il suffit de montrer (a+b)²<(1+ab)²
a²+b²+2ab<1+2ab+a²b²
a²(1-b²)<1-b²
a²<1
à condition de bien justifier...
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