Calcul puissance de matrice

[fatal_error]

hi,

j'ai la matrice M_5 suivante:

Code: Tout sélectionner

   0   1   0   0   0
   1   0   1   0   0
   0   1   0   1   0
   0   0   1   0   1
   0   0   0   1   0


considérer que ya des 1 sur la diago inf, et des 1 sur la diago sup.

Je cherche à calculer M_5^n
je voulais poser L et U avec L la matrice inférieure (qui ne peut contenir des 1 que dans la partie inférieure), idem pour U (supérieure), avec L+U=M, mais UL!=LU et donc pas de newton possible.

la matrice est pas non plus circulante (il faudrait M5(5,1) == M5(1,5) == 1 hors ces coeffs valent 0.

mais ya des propriétés évidentes:
par exemple







mais ca se transpose "pas trop" pour des tailles impaires différentes de M (M_7,M_9,..M_{2k+1})

si ca peut servir c'est en rapport avec mon post de 30 Aoû 2019 11:27
enigmes/doubles-affile-monopoly-t209395-40.html#p1372945

ya-t-il moyen pour un a impaire qq de donner les coeffs de M_a^n ?

ya probablement un argument combinatoire,... mais je vois rien

[fatal_error]

je me réponds partiellement:
il s'agit d'une matrice tridiagonale symmetrique.
j'ai pas encore calculé les valeurs propres et vecteurs propres mais apparamment les vp sont de la forme 2cos(kpi/(n+1))

[Skullkid]

Bonjour, si tu veux une solution analytique, ta matrice est diagonalisable et d'après Wiki ses valeurs propres sont les , pour k variant entre 1 et n (la taille de la matrice). J'ai pas regardé si la recherche des vecteurs propres était faisable à la main pour tout n, mais pour n = 5 ça se fait.

Numériquement, je serais prêt à parier qu'il y a des algorithmes spécialisés dans la diagonalisation de ce genre de matrice (tridiagonale symétrique).

Edit : ah bah on s'est croisé

[Lostounet]

je me réponds partiellement:
il s'agit d'une matrice tridiagonale symmetrique.
j'ai pas encore calculé les valeurs propres et vecteurs propres mais apparamment les vp sont de la forme 2cos(kpi/(n+1))

Ah ce sont les racines des polynômes de Tchebychev de deuxième espèce à facteur 2 près... Cool :p