Pb²=a²

[seb16120]

Pb²=a²
Pour P un nombre premier, a et b

A quoi ressemble a² ?

je sais que l'on peut réécrire cela en :

(et -sqrt(P) * -b = a)

donc a irrationnel donc a² irrationnel, ok mais à quoi ressemble t'il ? Peut-on en tracer une courbes ?

Si j’écris xy²=z² c'est une fonction traçable ? (il y à un carré à l'axe des solutions)
z=sqrt(x)*y serait traçable mais comment peut-on mettre des contraintes aux valeurs d'une fonction ?
Ensuite j'ai juste à créer une autre fonction S=z² qui me donnerait les nombres que je cherche.

[lyceen95]

C'est touffu tout ça.

Tu dis que a est forcément irrationnel, Non pas forcément. On peut très bien avoir a rationnel, et b irrationnel.
Mais admettons qu'on ait une contrainte, du type " b est un entier". Et dans ce cas, effectivement, on arrive à la conclusion que a est irrationnel.

Ensuite, tu dis : donc a² irrationnel.
Non. Le carré d'un nombre irrationnel peut être rationnel, ou irrationnel, on ne sait pas à l'avance.
Et même, dans notre configuration, a² = Pb² ; a² est donc le produit de 2 entiers, a² est un entier donc pas irrationnel.

Peut on tracer une courbe ? Là on change complètement de registre. Quand on trace une courbe, cette courbe passe par des nombres rationnels et des nombres irrationnels.
Le truc pour concevoir ces nombres rationnels/irrationnels, c'est :
Entre 2 nombre rationnels, même très proches l'un de l'autre, il y a forcément un nombre irrationnel (et même une infinité), et entre 2 nombre irrationnels, même très proches l'un de l'autre, il y a aussi une infinité de nombres rationnels.
Les nombres rationnels et irrationnels sont enchevétrés les uns dans les autres.

Si on veut tracer xy²=z², on est en dimension 3.
xy²=z², ce n'est pas l'équation d'une courbe, mais l'équation d'une surface . Une surface qui ressemble un peu à ça :

Après, on peut choisir de figer une valeur de z par exemple (disons z=5), et ceci nous donne l'équation d'une courbe qui est traçable. et on répète l'opération avec différentes valeurs de z, ça nous donne des https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_niveau

[seb16120]

Merci de votre réponse.

Oui, désolée, c'est vrai que j'ai oublié de dire que j'ai pris les nombres comme dans la preuve de l’irrationalité d'une racine carrée d'un nombre premier.

Par contre oui je savais très bien que cela allait être une courbe en 3 dimensions puisque 3 variables (1 variable solution et 2 variable en entrée de fonction).
Je connais aussi les courbes de niveau ^^

c'est fixer x (un nombre premier P) qui n’intéresserais, y (le b) un naturel différent de 0 (car c'est sqrt(p)=a/b à l'origine) et voir quand a et puis a² sont rationnel ou pas.

Du coup on a Py=z (vue que P est y sont des entiers c'est traduisible en suite an+1=Py ? -je ne pense pas car une suite reprends le terme précédant il me semble-) Puis z²=S soit S=(Py)² si je ne fais pas d'erreurs.

p.s : Quel logiciel avez-vous utilisé pour tracer les fonctions de 2 variables ?

[lyceen95]

Pour le dessin, je ne l'ai pas fait moi-même. Dans ce cas, j'aurais dessiné précisément la surface demandée.
J'ai pris un dessin de surface que j'ai trouvé sur le net, en prenant une surface qui se rapproche plus ou moins de la surface demandée. Pour respecter les "droits d'auteur", j'aurais peut-être du mentionner la source, la voici :
https://debart.pagesperso-orange.fr/ts/ ... rac_xy.jpg
Et donc le lien vers ce site au complet : https://debart.pagesperso-orange.fr/ts/geospace

Sur le reste, je ne comprends pas les questions posées.

[seb16120]

np, dsl de vous avoir fait perdre votre temps

[lyceen95]

Non , faut pas être désolée. Je viens lire des questions pendant mon temps libre ; si j'avais le sentiment de perdre mon temps en faisant cela, je ferais autre chose.
Je pense simplement qu'il faut que tu reformules simplement tes besoins.
Tu abordes 2 thèmes qui généralement sont totalement indépendants : mes nombres a et b sont ils rationnels ou pas ?
Et par ailleurs à quoi ressemble la surface ? Et maintenant, tu parles de suite.
Que viennent faire les suites dans tout ça ?

[seb16120]

Ben Les suites c'est du discret, et vue qu'avec la fonction on prends que des entiers pour b et qee des nombres premiers pour P, ça rends la fonction discrète et ça m'a fait pensé à une suite. Sauf que l'on n'utilise pas la valeur précédente.

[lyceen95]

En fait, P est un nombre premier.
Prenons quelques valeurs de P :
Si P = 2, alors ton équation correspond à 2 droites : a=b * racine(2) et a=-b * racine(2)
Si P = 3, alors ton équation correspond à 2 droites : a=b * racine(3) et a=-b * racine(3)

etc. Pour toute valeur de P, ça nous donne 2 droites.

[seb16120]

ok merci ^^