Fonction T-périodique

[mehdi-128]

Bonsoir,

Encore une question, ce chapitre (continuité) me pose bien des problèmes. Je ne comprends pas la correction de la question 2 de cet exercice Je vous mets la correction de la question au cas où mais je l'ai bien comprise.

Soit un réel strictement positif et une fonction périodique. On suppose que est continue.
1/ Montrer que est continue en .
Par caractère local de la limite, il suffit de montrer que est continue en .
Par restriction est continue donc est continue à droite en .
Pour tout :
Ainsi par composition de fonctions continues, est continue. Ainsi est continue à gauche en donc continue en .

2/ Démontrer que est continue.
Soit . Il existe donc tel que et donc
Pourquoi ce donc ? est périodique donc on a toujours non ?

D'après le caractère local de la limite, la continuité de sur garantit la continuité de sur
Je n'ai pas du tout compris ce passage.

Si alors par composition des limites,

Ainsi est continue sur .

[Tuvasbien]

Le "donc" est un peu mal placé, l'égalité est vraie peu importe la définition de (du moment qu'il est entier). La définition de est utile puisque donc on peut utiliser la continuité de sur d'où la phrase non comprise.

[mehdi-128]

D'accord mais je ne vois pas comment en déduire que est continue en .

Je ne vois pas le rapport avec le caractère local de la limite suivant :
Soit .
continue en si et seulement si continue en .

[Tuvasbien]

est continue sur donc sur n'importe quel segment de la forme par périodicité (puisque pour tout ) donc est continue sur .

[mehdi-128]

Je n'ai pas compris

Je n'arrive toujours pas à comprendre le passage :

Soit et
D'après le caractère local de la limite, la continuité de sur garantit la continuité de sur .

[Tuvasbien]

C'est ce que j'ai expliqué, si tu ne comprends vraiment pas essaye de le montrer avec la définition de la limite pour te convaincre.

[mehdi-128]

C'est quoi ça ) ? Pourquoi il y a un point ?

Que vaut le ici ?

[Tuvasbien]

désigne la fonction qui à associe . Je n'ai pas utilisé le caractère local avec les "r", en fait le "caractère local de la limite" c'est du français, quand on s'intéresse à une limite en un point , on s'intéresse à ce qui passe pas loin de , or ce qui se passe dans un intervalle de la forme se passe aussi sur par périodicité (c'est ce que j'ai écris). Si est continue sur elle l'est aussi sur pour tout puisqu'il se passe exactement la même chose dans cet intervalle que sur . Fais un dessin avec la fonction sinus par exemple où dans ce cas , comment en déduire la continuité de sur en sachant qu'elle est continue sur ?

[mehdi-128]

Oui sur un schéma c'est simple mais la démonstration formelle est plus ardue.
Je tente une démonstration avec les restrictions, pourriez-vous me dire si c'est correct ?

Soit .

car

Or

D'où

Mais d'après l'hypothèse est continue sur donc à fortiori sur . Finalement, est continue sur par égalité des 2 fonctions.

[Tuvasbien]

Plusieurs remarques, il faut prendre , aussi n'est pas défini et ça rend la démonstration incomplète, ce dépend de (en fait ). Mais surtout, est définie sur et pas sur donc dire qu'elle est continue sur n'a pas de sens et .

[mehdi-128]

Ok merci, je corrige.



Je ne vois pas comment en déduire que est continue en

[Tuvasbien]

Passe par la définition, il vaut mieux utiliser ce que tu maîtrises non ?

[Kolis]

Je ne vois pas comment en déduire que est continue en

Mais si tu notes la restriction sur , pour fixé, la fonction est continue et tu utilises la composée de fonctions continues.

[mehdi-128]

Merci Kolis !



Posons et

est continue en , est continue en car alors est continue en .

est continue en