Exercice polynômes

[coussinblanc]

bonsoir
je bloque sur une question de mon devoir :
on suppose A =X^2-2X+1 et D =X(X-1)^2 montrer qu'il existe 3 polynômes R1,R2 et R3 dans R2[X] tels que pour tout polynôme P de R2[X], P= P(0).R1 + P(1).R2 + P'(1).R3

j'ai d'abord pensé à utiliser la formule de Taylor mais je n'aboutissais à rien, est ce que vous pourriez m'éclairer davantage svp ? merci d'avance
(a noter que cette question se situe à la fin d'un exercice traitant de l'application linéaire f où f(P) est le reste de la division euclidienne de AP par D)

[Tuvasbien]

Essaye de raisonner par analyse-synthèse, si et sont tels que , prends pour un polynôme de degré au plus tel que successivement :
- , ,
- , ,
- , ,

[coussinblanc]

je trouve les polynômes (X-1)^2, -X^2+2X et X^2-X
mais je ne vois pas où ça me mène

[GaBuZoMeu]

Regarde mieux, et tu verras.

[Tuvasbien]

Tu trouves , et c'est à dire ?

[coussinblanc]

ah ! comme P(0)=P'(0)= 0, on a P=R1=(X-1)^2 non ? et donc par raisonnement analogue R2=X(2-X) et R3 = X (X-1) ?

[Tuvasbien]

Exactement, il n'y a qu'une seule possibilité pour les polynômes , et , reste plus qu'à faire la synthèse.

[coussinblanc]

merci beaucoup !

[LB2]

(R1 R2 et R3) forme une base de polynômes d'interpolation de Hermite (généralisation de l'interpolation de Lagrange) pour le système d'équations écrit par tuvasbien