Variation de la constante

[Este]

Bonjour,
Je n'ai pas bien compris cette méthode que je pensais pourtant avoir bien compris, je dois resoudre une équation différentielle en physique portant sur la chute libre d'un corps avec frottements.
v'(t)+v(t)/T=-g et avec T une constante de temps et v(0)=0
La solution est -gT(1-exp(-t/T))
Mais avec la méthode variation de la constante je n'arrive a trouver le résultat.
Je trouve -gT(exp(t/T)-exp(-t/T))
J'ai trouvé ceci :
Solution homogene : Aexp(-t/T)
Solution particulière : -gTexp(t/T)

[Rdvn]

Bonjour,
Vous n’avez nul besoin de la méthode de la variation de la constante pour cette équation
(la méthode de la variation de la constante est efficace, mais elle présente souvent des calculs lourds,
on l’évite si on trouve une méthode plus commode).
Votre équation différentielle admet une solution constante, facile à trouver.
Dés lors il suffit de résoudre l’équation homogène, ce que vous savez faire
Bon courage

[Black Jack]

Salut,

v'(t)+v(t)/T = -g

Solutions de v'(t) + v(t)/T = 0 : v(t) = K.e^(-t/T)
********
Solution particulière de v'(t)+v(t)/T = -g
Par variation de la constante : v = f.e^(-t/T) avec f une fonction de t.

v = f.e^(-t/T)
v' = f'.e^(-t/T) - 1/T * f.e^(-t/T)

v'(t) + v(t)/T = f'.e^(-t/T) - 1/T * f.e^(-t/T) + 1/T * f.e^(-t/T)
v'(t) + v(t)/T = f'.e^(-t/T)

--> f'.e^(-t/T) = -g
f' = -g * e^(t/T)
f = -g.T.e^(t/T)

Comme v = f.e^(-t/T) --> v = -g.T.e^(t/T).e^(-t/T)

v = -g.T est donc une solution particulière de v'(t)+v(t)/T = -g
********

Solutions générales de v'(t)+v(t)/T = -g :

v = -gT + K.e^(-t/T)

Avec V(0) = 0 --> 0 = -gT + K
K = gT

Et donc : v(t) = -gT + gT.e^(-t/T)

v(t) = -gT.(1 - e^(-t/T))
*******************************

Remarque :

Dans le cas présent, une solution particulière v'(t)+v(t)/T = -g s'obtient immédiatement sans besoin d'utiliser la méthode de variation de la constante.

On a directement : v = -g.T est une solution particulière de v'(t)+v(t)/T = -g

[Este]

Merci,
effectivement la solution particulière est simple a trouver mais je voulais m’entraîner a cette méthode car je connais le résultat