Notion de dérivation

[Dorkenya]

Bonjour, j'ai besoin d'un coup de main

La fonction valeur absolue est le parfait contre-exemple qu'une fonction peut-être continue en un point et non dérivable. En quel point s'agit-il et pourquoi?

[chan79]

Bonjour
Elle n'est pas dérivable en 0.
Reviens à la définition de la dérivabilité en un point.

[capitaine nuggets]

Salut !

Tu as sinon la fonction "racine carrée" qui est continue sur et dérivable sur .

[lyceen95]

L'énoncé de l'exercice dit :

La fonction valeur absolue est le parfait contre-exemple qu'une fonction peut-être continue en un point et non dérivable. En quel point s'agit-il et pourquoi?

La fonction valeur absolue, on connaît en principe sa représentation graphique. On sait que c'est 2 demi-droites qui se rejoignent au point (0,0).
On nous dit que cette fonction a un problème en un point particulier.

Quel peut-bien être ce point particulier ? Pas besoin d'être très fûté pour deviner que le point particulier, c'est le point (0,0).
Ensuite, pour expliquer pourquoi on a un problème en ce point , il faut effectivement connaître un peu son cours.

[Kugge]

Je crois que la réponse a ta question est la suivante :

Pour qu'une fonction soit dérivable en un point, il faut que la limite à gauche soit strictement égale à la limite à droite de ce point.
Or la dérivée de |x| lorsque x est négatif est -1 et lorsque x est positif c'est 1.
Donc la fonction n'est pas dérivable en 0.

Il faut que


(En espérant que je ne me sois pas trompé)

[LB2]

Edit : je suis fatigué : j'avais lu "continue" au lieu de "dérivable"!

[lyceen95]

@Kugge : pour avoir une définition parfaitement saine, il faut aussi imposer que cette limite commune soit la valeur de la fonction en a, f(a). Sinon, on peut avoir des gags.

euhh ???
les 2 limites enquestion ne sont pas f(a) mais f'(a).
Par construction, si les ratios calculés par Kugge ont une limite finie, forcément f(a) est continue. Sinon, on aurait une forme du type avec .

[Sylviel]

Et pour étendre un peu : la non différentiabilité en 0 de valeur absolue et de racine ne sont pas tout à fait du même type :
- pour racine cela vient du fait que la "dérivée" en 0 devrait valoir +oo
- pour la valeur absolue cela vient du fait que la dérivée est 1 à droite et -1 à gauche (on pourra même dire que [-1,1] est une version affaiblie de la dérivée de valeur absolue en 0 -- mais c'est franchement hors programme).

[mathou13]

Bonjour,

Pour que ce soit dérivable il faut que:
limx->0(x<>0) (f(x)-f(0))/(x-0)=une valeure constante
or va de -1 en 0- à 1 en 0+ donc c'est non dérivable en 0.