Ensemble fini

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit une suite positive telle que pour tout , l'ensemble est fini.

Question peut être bête mais dire qu'un ensemble est fini nous permet-il d'en déduire qu'il admet un plus petit élément ?

[FLEURISTIN]

Certainement pas.
L'ensemble vide est fini...
Quand on parle de plus petit élément, ce n'est pas forcément lié à la relation bien connue <=.

L'ensemble {2,3} est une partie de N, mais pour la divisibilité il n'y a pas de plus petit élément.

[mehdi-128]

Excusez moi c'était plus grand élément. Dans mon livre il est écrit :

Soit une suite positive.
L'ensemble est fini donc il admet un plus grand élément.

Je n'ai jamais vu ça. J'ai vu juste qu'une partie de non vide et majorée admet un plus grand élément.

[FLEURISTIN]

Je sais que sur île des maths le scan est très mal vu, mais on aimerait bien avoir le contexte complet de tes questions. Parce que l'affirmation est franchement étrange, et qui est k ?

[mehdi-128]

Je mets l'exercice exact. C'est ce détail dans la correction qui me perturbe sinon c'est assez facile.

On considère une suite réelle positive vérifiant que, pour tout , l'ensemble est fini. Montrer que la suite converge vers .

Correction :

Soit . Montrons qu'il existe un rang tel que :

(*)

Soit tel que . L'ensemble est fini, donc admet un plus grand élément . L'entier vérifie alors la propriété (*).
Donc la suite converge vers 0.

[lyceen95]

L'ensemble est fini, donc admet un plus grand élément $m$ . L'entier$ n_0=m+1$ vérifie alors la propriété (*).

La première phrase est un peu ambigue.
On nous parle de son plus grand élément $m$.
Et dans la 2ème phrase, on nous dit que $m+1$ est un entier, et donc que $m$ est un entier. Normalement, cette information devrait faire tilt. On avait une suite à peu près quelconque, et son plus grand élémént est forcément un entier ??? Bizarre.

Réfléchis un peu si tu veux ... ou sinon lis la suite.


Il faut comprendre 'Plus grand élément' au sens de "dernier élément", ou encore d'élément ayant "l'indice le plus grand".
Et $m$ est bien entendu l'indice de ce dernier élément.

On a le droit de réfléchir quand on fait des maths.

[mehdi-128]

Lycée vous ne semblez pas avoir compris l'ensemble en question.
L'ensemble est une partie de N donc forcément il contient que des entiers. On parle du plus grand élément de l'ensemble et pas de la suite !
Bref, à mon avis c'est tout bête : si l'ensemble est fini il admet un plus petit et un plus grand élément. Ca parait logique.

[mehdi-128]

Vu qu'ici on a une relation d'ordre totale, la relation usuelle dans R... 2 éléments sont toujours comparables.