Probabilité et prédiction d'un regard

[Romain678]

Bonjour, je suis actuellement dans un doctorat en ingénierie et je rencontre un problème de maths que je dois résoudre dans ma programmation.
Pour simplifier le problème je vous propose ceci:

Imaginons que vous regardez un mur, vous avez 4 choix possibles, soit vous regardez en Haut, soit à Droite, soit à Gauche ou soit en Bas.
Si à l'instant T vous regardez une zone, par exemple à Droite, vous avez environ 90% de chance de continuer à la regarder en T+1, environ 4.5% de chance de regarder une autre zone plus proche (donc ici 4.5% de chance de regarder en haut ou en bas) et le dernier % à la zone la plus éloignée (ici à gauche). En sachant que cette probabilité diffère légèrement pour les autres zones (Haut, bas ou gauche)

Mais cette probabilité ne prend pas en compte les itérations.
En effet, plus vous regardez longtemps une zone, plus vous avez de chance de changer et de regarder une autre zone.

En moyenne, vous regardez à droite pendant 13.8 itérations avant de regarder dans une autre des 4 zones.
Pour cette zone Droite, le maximum d'itérations avant de changer est de 238.

Sachant qu'au total, il y a 65 538 itérations.

Mes cours de probabilité remontent un peu, je voudrais savoir s'il est possible de savoir les probabilités par zone au bout de 5 itérations, ou 100 ou 1000...

Je pense que ce problème est digne d'un exo' de probabilité dans un livre. x)
Je reste à votre disposition pour tous renseignements complémentaires !
Merci d'avance pour votre aide !

Cordialement,
Romain

[LB2]

Bonjour,

tu as entendu parler des chaines de Markov?
Tu pourrais partir d'une modélisation avec une chaine de Markov. A priori, on considère des probabilités de transition (passage du regard d'une zone à l'autre) indépendantes du temps.

Si les probabilités de transition varient trop en fonction du temps, il est possible de compliquer le modèle.

Bon courage

[Skullkid]

Bonjour, si tu ne te donnes pas d'hypothèses simplificatrices tu peux a priori construire des modèles aussi compliqués (et donc pénibles à programmer) que tu veux. Un exemple de telle hypothèse : supposer que les 4 zones sont globalement interchangeables et que, partant d'une zone donnée, la probabilité de passer à une des deux zones voisines est la même que l'autre voisine (par exemple si on est en haut, on a autant de chances de partir à gauche qu'à droite).

Il faut que tu essayes de formuler de telles hypothèses et de regarder si elles sont vraisemblables compte tenu de tes données. Attention cependant à la manière de formuler et tester tes hypothèses ! Par exemple, quand tu dis que "plus on regarde longtemps une zone, plus on a envie d'en changer", ça signifie quelque chose du genre : sachant que ça fait 5 itérations qu'on est à droite, on a une probabilité de 80% d'y rester au moins une itération de plus (contre 90% dans le cas où on vient juste d'arriver à droite). Donc pour tester ça, a priori il faut regarder dans tes données uniquement les situations où ça fait exactement 5 itérations qu'on est à droite, et regarder dans ces situations-là si on a l'air d'avoir significativement moins de 90% de chances de rester.

Une remarque quand même, si on prend la modélisation la plus simple possible, à savoir celle que suggère LB2 d'une chaîne de Markov à 4 états avec probabilités de transition (90%,4.5%,4.5%,1%) indépendantes du temps (donc sans effet de mémoire du genre "plus on regarde longtemps une zone plus on a envie d'en changer"), on s'attend à passer en moyenne 10 itérations consécutives sur une zone avant d'en changer, alors que dans tes données c'est plutôt proche de 14. De plus, la probabilité de passer au moins 238 itérations consécutives sur un état est de l'ordre de , donc ça paraît assez invraisemblable d'assister à un tel événement en regardant seulement 65538 itérations. Du coup, à vue de nez j'aurais plutôt tendance à dire que s'il y a un effet de mémoire, il a plutôt l'air d'aller dans le sens de "plus on regarde longtemps une zone, plus on a envie d'y rester". Ou alors un effet de pallier du genre "on n'aime pas changer de zone trop souvent et on commence à se fatiguer de regarder une zone après X itérations".

[Romain678]

Bonjour,
Merci pour vos réponses !
Je vais tester tout ça et je reviens vers vous !

Pour te répondre Skullkid, ces données ne sont qu'une petite partie de mes données, pour reprendre l'exemple, ces données ne sont qu'une personne sur 24 qui regardent ce même mur.
Et je pense que c'est plus un effet de pallier comme tu le dis.
Je vais en parler à des collègues normalement demain et je reviendrais vers vous pour vous donnez soit une solution ou soit des précision sur ce problème.

Bonne fin de week-end à vous

[lyceen95]

En fait, il semblerait que dans une première version, les 4 points jouent des rôles identiques :

Droite Haut Haut Bas, ou Haut Gauche Gauche Droite, c'est 'conceptuellement' la même séquence.
Et même Droite Bas Bas Haut, c'est aussi la même séquence. Il faut donc coder les mesures de sorte que ces différents mouvements soient similaire.
Ca peut ressembler à ça.
A chaque mouvement, on commence une nouvelle chaine :
- Combien de fois le regard reste sur la position nouvelle : 2 dans l'exemple ci-dessus.
- Dans quelle direction le regard repart-il ? Soit R (retour à la position précédente) , Soit C ( continuation , par exemple Droite, plusieurs fois Haut puis Gauche) , Soit F ( en Face, le cas de l'exemple ci-dessus).
Les 3 exemples ci-dessus sont donc codés 2F.

Droite Haut Haut Droite = 2R ( 2 mesures dans la position Haut puis Retour à la case départ)
Droite Bas Bas Droite = 2R également.

Selon moi, la séquence 1R devrait être beaucoup plus rare que la séquence 1C ( Droite Bas Droite plus rare que Droite Bas Gauche par exemple).
Par contre, les séquences 9R et 9F peuvent être en proportion similaire ...

On peut aussi analyser des chaines plus longues : Droite Bas Droite Droite Haut = 1R2C : 1 seule mesure en position Bas, Retour à la position Droite, 2 mesures dans cet emplacement, et Continuation de la trajectoire (Bas Droite Haut).
On est dans des chaines de Markov, mais en codant les données de façon à assimiler des situations similaires.

[Romain678]

Bonjour à tous et merci pour vos réponses

Je me suis renseigné et j'ai su programmer les chaines de Markov !
C'était plus simple que je pensais au final et le résultat est toujours beau à voir

On peut donc clore cette discussion



Ps: Voici un petit aperçu d'un des programmes