Calcul du coefficient directeur en x= 0 de la fonction e^x

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bonjour,
la fonction exponentielle est caractérisée par sa tangente en x =0 qui est de la forme y =x+1
On peut obtenir facilement ce résultat via la formule y =f'(a)*(x+a)+f'a)
par contre j'aimerais calculer le coefficient directeur en utilisant la formule
lim (f(a+h)-f(a))/h
h tend vers 0
ce qui donne
lim ( e^(0+h)- e^0)/h
h tend vers 0

soit
lim ( e^(h)- 1)/h
h tend vers 0
ce qui donne une forme indéterminée 0/0
je n'arrive pas à lever cette indétermination
Auriez vous une piste ?
Par avance merci

[Ben314]

Salut,
Le problème c'est (bien évidement) de savoir ce que tu prend comme définition de la fonction exponentielle et c'est forcément ça (i.e. cette définition) qui va te permettre de faire des calculs donc en particulier de démontrer que .

C'est un peu comme si on te demandait de démontrer que tout les mammifères ont 4 membres : si tu ne sait pas ce qu'est un mammifère (i.e. que tu connaît pas la définition de ce terme), ben tu risque pas d'écrire quoi que ce soit !!!
Enfin, bref, pas de définition = pas de démonstration !!!!

P.S. : je sais pas quelle est la définition donnée à l'heure actuelle (au Lycée) de la fonction exponentielle, mais il me semble qu'il y a quelque temps c'était ça :
La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable f:R->R telle que :
- Pour tout réel x, on ait f'(x)=f(x)
- f(0)=1
Et avec ça comme définition, la preuve est triviale vu que cette définition implique en particulier que f'(0)=f(0)=1.

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bonjour
merci pour ta réponse
je suis pas au lycée (retraité ) qui me relance dans les maths pour le plaisir
la fonction exponentielle que je considère est bien la fonction de base e
je me suis peut être mal exprimé mais mon objectif n'est pas d'appliquer une définition, mais de pouvoir redémontrer que f'(0) =1 en utilisant la définition générale du calcul du coefficient directeur en un point d'une courbe
lim (f(a+h)-f(a))/h
h tend vers 0
avec a=0 et f la fonction exponentielle de base e
donc de démontrer par le calcul que cette limite est égale à 1
j'espère avoir mieux exprimé mon objectif

[Ben314]

Ben... non... c'est pas mieux vu que c'est exactement la même chose qu'avant : de connaître la définition de ce qu'est le nombre dérivée d'une fonction f, c'est bien beau, mais si tu n'a pas la définition de ce qu'est la fonction f, tu ne risque pas d'écrire quoi que ce soit.
Alors certes, tu me parle de "la fonction exponentielle de base e", mais ça, c'est pas une définition, c'est uniquement un nom.
C'est exactement comme si tu disait que "mammifère", c'est un M, puis un A, puis deux M, etc : c'est pas faux, mais ça sert évidement absolument à rien en ce qui concerne le fait de prouver que tout les mammifères ont telle ou telle propriétés. Ce qu'il te faut, c'est la définition de ce qu'est un mammifère.

Après, si tu à l'age d'être à la retraite, ce que tu risque d'avoir vu au Lycée comme définition de la fonction exponentielle, c'est que c'est la bijection réciproque de la fonction logarithme (népérien) qui est, quand à elle (par définition), la primitive qui s’annule en 1 de x -> 1/x (sur ]0,+oo[).
Dans ce cas, ce qu'il faut écrire, c'est que en posant donc (par définition) qui, lorsque tend vers 1, tend vers (par définition).
Ensuite, vu que, par définition, .

[visual77]

bonjour
j'ai bien assimilé ton raisonnement en passant le logarithme. par contre je suis bloqué concernant ta remarque "tu prend comme définition de la fonction exponentielle "
par exemple


Définition — On appelle fonction exponentielle l'unique fonction dérivable solution du problème de Cauchy suivant :

f'=f et f(0)=1

cette définition correspond t'elle à ta remarque

[lyceen95]

Pour moi, cette définition est la définition de la fonction exponentielle.
Du coup f'(0) = 1, conséquence directe de la définition.
Et si on tient à parler de limite, habituellement , on trouve la dérivée par le calcul de la limite de (f(a+h)-f(a) )/h ;
là on va faire l'inverse , on connaît la dérivée, elle vaut 1 ; et donc la limite de (f(a+h)-f(a))/h vaut aussi 1.

L'autre définition possible de la fonction exponentielle, c'est de définir d'abord la fonction ln (c'est la primitive de la fonction 1/x), puis on définit l'exponentielle comme la fonction réciproque de cette fonction ln.
Si on part de cette définition, alors le calcul sera celui présneté par Ben314

[Sylviel]

Sauf que la "vraie" définition de l'exponentielle (enfin celle qui se généralise le plus facilement) n'est ni l'une ni l'autre, mais son développement en série entière. (Largement hors programme lycée par contre ^^).

[Sake]

Sauf que la "vraie" définition de l'exponentielle (enfin celle qui se généralise le plus facilement) n'est ni l'une ni l'autre, mais son développement en série entière. (Largement hors programme lycée par contre ^^).

Cette définition et celle que donne Ben314 dans son premier message sont-elles équivalentes ?

C'est une question naïve, mais je vois ici qu'il y a au moins 4 façons de définir la fonction exponentielle réelle: une équation différentielle, une équation fonctionnelle sur ses propriétés relatives à un couple de réels, sa qualité de bijection réciproque de la fonction logarithme népérien et finalement un développement en série entière. Si l'on pouvait d'une certaine manière passer d'une définition à une autre en montrant qu'elles sont équivalentes, cela mettrait fin au débat... ou alors c'est impossible ?

[GaBuZoMeu]

C'est tout à fait possible.

Par exemple, tu peux démontrer que la fonction réciproque de , définie comme il est dit, satisfait l'équation différentielle avec condition initiale
Tu peux aussi vérifier qu'une solution de l'équation fonctionnelle et telle que est solution de l'équation différentielle.
Etc. etc.

[Sylviel]

Les définitions sont bien entendu équivalentes.

Maintenant on utilise régulièrement l'exponentielle d'un complexe ou d'une matrice...
Je te laisse deviner quelle définition permet ce genre d'extension sans douleur

Par ailleurs pour les définitions par équation fonctionelle / différentielle il faut prouver l'unicité de la solution et choisir un point remarquable ce qui rends le côté "définition" un poil moins naturel de mon point de vue.