Somme de coefficients binomiaux

[Vrael]

Bonjour,
Je cherche à montrer l'identité suivante :
J'ai essayé un peu toute les techniques que je connaissais mais impossible d'avancer. Si quelqu'un a une piste je vous en serais très reconnaissant.

[pascal16]

Une somme égale à 1 avec des coef binomiaux a souvent une explication passant par les probas

[Vrael]

Le problème étant que ce calcul viens justifier une histoire de proba. Donc je voudrais une justification par le calcul et non combinatoire.

[GaBuZoMeu]

Pourquoi pas de démonstration combinatoire ? Toute démonstration correcte est une démonstration, non ?

L'égalité à démontrer, une fois multipliée par , devient



Le membre de gauche est le nombre de triplets où est un entier entre et , une partie à éléments de et une partie de .
Le membre de droite est le nombre de parties de .

Pour montrer l'égalité, il suffit d'exhiber une bijection entre l'ensemble des triplets comme ci-dessus et l'ensemble des parties de , comme le sait bien Beagle (private joke).

Commençons par décrire une telle bijection dans le sens . Si , on pose . Si et , on pose . Si et , on pose .

Maintenant dans le sens . Soit le nombre d'éléments de . Si , on pose , et . Si , on prend pour l'entier tel que est le -ème élément de , dans l'ordre croissant, et on pose , . Si , on prend pour l'entier tel que est le -ème élément de , dans l'ordre croissant, et on pose , . Dans les trois cas, a bien éléments. Dans le premier cas et dans les deux autres . Dans le deuxième cas, et dans le troisième cas .

La vérification que les deux applications décrites sont des bijections réciproques est sans problème, grâce aux remarques ci-dessus.

[beagle]

"Pour montrer l'égalité, il suffit d'exhiber une bijection entre l'ensemble des triplets comme ci-dessus et l'ensemble des parties de , comme le sait bien Beagle (private joke).

oui, je n'ai pas sauté de classes en maternelle, donc j'ai appris cela à la maternelle autant et bijection.

maintenant j'ai aussi appris que j'avais autant de doigt en main droite qu'en main gauche,
autant de doigts que d'orteils, et dans une matrice deux rangées , 2n colonnes, enlever k colonnes laisse du autant libre dans chaque rangée. ..Qu'il faille le détailler, le justifier à l'oral de l'agrégation ne me concerne pas, je suis déscolarisé…

PS1: c'est ici
http://dlz9.forumactif.com/t50-a-distri ... les-coeurs
commencez doucement avec la partie pour les enfants, c'est du coloriage...

PS2: ceci dit j'applaudis bien fort ton utilisation de la bijection,
dans le problème que j'avais soumis, c'était une belle façon de faire
dans le problème ci-dessus, c'est super de se dire que une égalité ben on peut dire égale, autant, et montrer cela par bijection. Bravo, sans ironie, j'aime je like comme on le fait maintenant. Au fait on peut liker les messages, donc je vais liker le tien!

[Vrael]

Merci GaBuZoMeu pour cette réponse détaillée ! Si je ne voulais pas une démonstration combinatoire c'est que jusqu'à maintenant j'ai toujours réussi à résoudre ce genre de problème par le calcul et je trouve ça plus simple. Mais j'imagine que ce n'est pas toujours faisable (ou très difficile), merci beaucoup !