Carré et rectangle

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Sant2a
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Carré et rectangle

par Sant2a » 20 Juil 2019, 23:40

Bonsoir :)

Un petit problème accessible à (presque) tout le monde :

démontrez que le carré est le rectangle qui a la plus grande aire pour un même périmètre.

SI possible montrer comment cette différence d'aire varie pour un même périmètre mais des rectangles différents.

Voir si vous arrivez avec la même démonstration que moi ou pas ça m'interesse :D

Désolé si vous trouvez ça trop simple :P



lyceen95
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Re: Carré et rectangle

par lyceen95 » 21 Juil 2019, 00:43

Prenons un rectangle de dimension (a,b) avec a<b.
Prenons un le carré de côté (a+b)/2. Ce carré a le même périmètre que le rectangle initial.
La surface du rectangle est ab.
La surface du carré est (a+b)²/4 , et si on développe, ça donne ab+ (b-a)²/4. Pour le même périmètre, le carré en question a donc une surface plus grande que le rectangle initial.

Sant2a
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Re: Carré et rectangle

par Sant2a » 21 Juil 2019, 03:29

J'avais trouvé autre chose, comme quoi:

on pars d'un carré, de côté a .

Un triangle de même périmètre au carré avec des côté différents peut aura une aire qui peut s’écrire sous la forme (a+alpha)(a-alpha) soit l'identité remarquable a^2-alpha^2 (chaque coté varie de alpha ou -alpha )

a^2 étant l'aire du carré, on peut dire que la différence d'aire entre un carré et un rectangle de même périmètre est égale à alpha au carré.

exemple si on a un carré de 13 par 13 et un rectangle de 11 par 15, on sait que 13 ^2 =169 donc l'aire du triangle sera 169-2^2=164

oui du coup comme a^2 est positif le carré est le plus grand rectangle pour un même perimètre, quand alpha =0

GaBuZoMeu
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Re: Carré et rectangle

par GaBuZoMeu » 21 Juil 2019, 10:01

Sans parole.

Image

lyceen95
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Re: Carré et rectangle

par lyceen95 » 21 Juil 2019, 11:14

Entre les 2 calculs, c'est en fait la même idée, mais avec des notations différentes. Le a dans ton calcul, c'est le (a+b)/2 dans le mien, et le alpha dans ton calcul, c'est le (b-a)/2 dans le mien.

 

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