Polynômes multivariés

[hervedo]

Bonjour à tous,

J'ai une question à laquelle je ne sais comment répondre...Je considère le polynôme P suivant


J'aimerais montrer que ce polynôme de degré 2n-3 admet un monôme de degré 2n-3 de la forme

avec comme autres contraintes et et
je l'ai vérifié sur l'ordi mais si je pouvais avoir une idée de preuve ça m'aiderait grandement.
Merci par avance.

[GaBuZoMeu]

Ça me semble assez clair :
Dans la partie qui commence par tu as le produit des pour allant de 1 à , et devant tu as . Tu as même le signe avec lequel ce monôme apparaît : . Les exposants sont , tous les autres égaux à 2.

[hervedo]

Arggh oui j'ai oublié de dire que j'ai réussi à exhiber le monôme en écrivant les produits en "diagonale" mais là où j'ai un doute c'est pourquoi ce type de monôme ne peut pas disparaître avec un même monôme de signe opposé...par exemple quand je prends n=3 je n'ai pas de séquence
...je ne sais pas si je suis très clair. En tout cas merci beaucoup.

[GaBuZoMeu]

Oui, tu as raison, j'avais sous-estimé le problème d'annulation des monômes.
Une piste, mais qui ne mène peut-être à rien pour ta question : en faisant le changement de variables pour , on voit que ton polynôme s'écrit

et là on voit assez facilement que les monômes obtenus en développant sont tous différents.

[hervedo]

Merci beaucoup. Je vais creuser dans cette direction.

[GaBuZoMeu]

Une chose m'intrigue : pourquoi te poses-tu cette question ? Peux tu nous en dire plus ?

[hervedo]

C'est parce je viens de découvrir le Combinatorial Nullstellensatz et je suis en train de "m'amuser" avec...j'obtiens des choses intéressantes avec Sage et je voulais les vérifier formellement.

[GaBuZoMeu]

D'accord, je ne connaissais pas ce "Nullstellensatz combinatoire".