Produit Tensoriel

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v3x0
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Produit Tensoriel

par v3x0 » 14 Juil 2019, 16:24

Bonjour à tous. J'apprend le calcul tensoriel dans un livre de math pour la physique, celui de Walter Appel pour ceux qui connaissent.

Ce domaine étant nouveau pour moi, je bloque sur un exercice sur le produit tensoriel. Il sert à illustrer un théorème:

"Pour E et F deux espaces vectoriels de dimension finie, il existe un unique ensemble à un isomorphisme près, noté E xo F, tel que pour tout espace vectoriel G, l'espace des application linéaire de E xo F dans G est isomorphe à l'espace des applications bilinéaires de ExF dans G.

Plus précisément, il existe une application bilinéaire phi: ExF -> E xo F telle que, pour tout espace espace vectoriel G et toute application bilinéaire f: ExF->G, il existe une unique application linéaire f*: E xo F -> G telle que f=f* rond phi (rond est la composition). Phi s'appelle produit tensoriel "

S'en suit alors l'exercice:

" Soient n,p des entiers. Si A=(aij) une matrice de carré de dimension n (Mn(C)) et B une matrice carrée de dimension p (Mp(C)) , on a A xo B la matrice d'ordre np définie par bloc par

A xo B =(a11B ... a1nB)

( ... ... )

(an1B ... annB)

Montrer que (A,B) -> A xo B réalise un produit tensoriel et que par conséquent Mn(C) xo Mp(C) isomorphe à Mnp(C)."

D'après les indications, il semblerait que tout ne soit qu'un question de réécriture pour concorder avec le théorème, mais je ne vois rien d'évident. J'ai surement mal compris le théorème et la réponse pourrait vous sembler triviale

Pour moi, il faudrait montrer que pour toute application bilinéaire f, il existe une unique application linéaire f* telle que f=f* rond phi, ou phi est l'opération définie dans l'énoncé.

PS; J'ai essayé de mettre des versions "propre" du théorème et de l'exercice en image, mais le site me dit que le quota d'image est déjà dépassé . Je vous donc les URL que j'ai hébergé pour y avoir accès:

https://image.noelshack.com/fichiers/20 ... -36-08.jpg
https://image.noelshack.com/fichiers/20 ... -36-18.jpg

Merci d'avance.



GaBuZoMeu
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Re: Produit Tensoriel

par GaBuZoMeu » 15 Juil 2019, 10:51

Tu peux raisonner au moyen de bases.
Tu connais sans doute une base de l'espace des matrices (matrices élémentaires).
Soient des bases de respectivement.
Tu sais sans doute qu'une application bilinéaire de dans est entièrement déterminée par les images des couples avec dans et dans . Tu peux appliquer ça avec et .
Tu sais sans doute aussi qu'une application bilinéaire de dans est entièrement déterminée par les images des éléments de . Tu peux appliquer ça avec .
Il te reste alors à voir le rapport entre les couples formés d'une matrice élémentaire de taille et d'une matrice élémentaire de taille , et les matrices élémentaires de taille . La définition des matrices est là pour ça.

LB2
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Re: Produit Tensoriel

par LB2 » 15 Juil 2019, 23:28

Merci à vous, j'avais toujours un peu de mal avec le produit tensoriel, je crois que c'est réglé désormais

GaBuZoMeu
Habitué(e)
Messages: 6016
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Re: Produit Tensoriel

par GaBuZoMeu » 16 Juil 2019, 22:52

Avec plaisir.

 

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