Inégalité

[MMu]

Soient rééls positifs tels que .
Montrer que

[lyceen95]

La propriété est fausse.
Contre exemple :
x1= racine(2)
x2=0.0001
n=2
Je suppose qu'il manque la condition x1 <= x2 <= ... <= xn

[MMu]

La propriété est fausse.
Contre exemple :
x1= racine(2)
x2=0.0001
n=2
Je suppose qu'il manque la condition x1 <= x2 <= ... <= xn

très drôle

[lyceen95]

Oups.
J'avais vu x1^1 + ... + xn^n au lieu de x1^x1 + ... + xn^xn.

[Ben314]

Salut,
Par du gros calcul brutal :
Pour fixé et on pose ; puis on pose .
La fonction est continue et dérivable sur ( où ) avec

.
Or, si pour on pose alors et on a donc qui est trivialement vérifié à la fois sur où mais aussi sur où .
Donc est strictement croissante sur et on a .
Tout cela montre que, pour une valeur fixée de (avec ) la valeur minimale de est obtenue lorsque . Et bien sûr c'est la même chose avec plus de 2 variables vu que si deux d'entre elles étaient différentes, on pourrait faire diminuer la somme des .

[MMu]

On peut faire un peu plus simple en étudiant

)
, croissante avec
Il s'ensuit que le minimum de est
On a donc et donc