Principe de récurrence

[mehdi-128]

Bonsoir,

Dans mon livre, le principe de récurrence est énoncé ainsi :

Si est une partie de contenant et telle que :

alors

J'aimerais savoir : est-ce un théorème ? Ce résultat est-il admis en MPSI ?

[capitaine nuggets]

Salut !

C'est un axiome. Ne l'as-tu pas vu au lycée ? Pourquoi ne pas avoir chercher un peu sur internet comme ici par exemple ???

[pascal16]

le principe de récurrence est pour moi plus fin que ça, si on remplace n+1, par la notion de successeur, on retombe dans des cas plus généraux.

[mehdi-128]

Salut !

C'est un axiome. Ne l'as-tu pas vu au lycée ? Pourquoi ne pas avoir chercher un peu sur internet comme ici par exemple ???

J'ai lu mais je n'ai pas trop compris certains passages. Par exemple, il est dit que c'est un axiome car c'est équivalent à des propriétés des propriétés comme l'existence d'un minimum à tout ensemble non vide.

En fait, je n'ai pas trop saisi pourquoi c'est un axiome.

[mehdi-128]

Mon livre utilise ce résultat pour démontrer le principe de récurrence suivant :

Soit un prédicat défini sur . Si est vrai et si alors est vraie pour tout entier naturel.

[mehdi-128]

Mon livre explique que cet axiome est une conséquence immédiate des propriétés suivantes :

possède un plus petit élément noté 0.

Soit . Alors l'ensemble des entiers strictement plus grands que est non vide (sinon est un majorant de ) : son plus petit élément est appelé successeur de .



Soit . Alors l'ensemble des entiers strictement plus petits que est non vide (il contient 0) et majoré par : son plus grand élément est appelé prédécesseur de et est égal à



Je ne vois pas trop le rapport direct avec l'axiome de récurrence

[stu]

, et


Pour le montrer on utilise le raisonnement par l'absurde,

On suppose que

On considère l'ensemble , de, on déduit que , cet ensemble possède un plus petit élément que l'on note .

Soit l'élément , est bien défini car du fait que . étant le plus petit élément, , on déduit que .

On utilise l'implication pour déduire que , ce qui est absurde car

[GaBuZoMeu]

@stu : tu utilises l'axiome "toute partie non vide de a un plus petit élément" ce qui, avec l'existence d'un prédécesseur pour tout élément différent de 0, est équivalent à l'axiome de récurrence.

@mehdi : si vraiment ton livre affirme ce que tu as retranscrit dans ton dernier message (c.-à-d., si tu n'as rien oublié), alors ton livre raconte une grosse bêtise. L'ensemble des couples de la forme (0,n) où n est un entier naturel ou (1,a) où a est un entier relatif vérifie aussi les propriétés que
1) (0,0) est le plus petit élément,
2) tout élément a un successeur,
3) tout élément différent de (0,0) a un prédecesseur.
Pourtant, il ne vérifie pas l'axiome de récurrence.

PS. À mon avis, la seule façon sérieuse de démontrer le principe de récurrence est de le faire pour l'ensemble des entiers naturels défini dans ZF, à partir des axiomes de ZF.

[capitaine nuggets]

Mais sinon au pire, tu peux toujours admettre certains passages en première lecture

[mehdi-128]

@Capitaine
Je préfère comprendre que admettre.

@Gabuzomeu

Le passage exact est : "une application important des propriétés de que nous avons listées ci-dessus est le principe de récurrence qui affirme que :

Si est une partie de contenant et telle que :

alors "

[noobey]

On suppose que Dans ce cas est une partie non vide de et donc admet un plus petit élément .


Puisque on a que et que puisque b est le plus petit élément de B. Par hypothèse on aurait donc que . Ce qui est absurde.

Donc

[GaBuZoMeu]

@mehdi : Ça me fait une belle jambe, vu que je ne sais pas ce que sont "les propriétés de que nous avons listées ci-dessus".

@noobey : tu répètes ce qu'a écrit stu plus haut.

[noobey]

@mehdi : Ça me fait une belle jambe, vu que je ne sais pas ce que sont "les propriétés de que nous avons listées ci-dessus".

@noobey : tu répètes ce qu'a écrit stu plus haut.

j'avais pas lu ce qui était écrit plus haut, je réponds à la dernière question de mehdi. Mais puisqu'il faut lui répéter 50 fois les mêmes choses pour que ça entre dans sa tête et qu'il commence à lire nos réponses ....

[mehdi-128]

@mehdi : Ça me fait une belle jambe, vu que je ne sais pas ce que sont "les propriétés de que nous avons listées ci-dessus".

@noobey : tu répètes ce qu'a écrit stu plus haut.

Une construction rigoureuse de l'ensemble des entiers sort du cadre de ce cours. Il est toutefois indispensable dans cet ouvrage de donner une liste exhaustive des propriétés admises qui nous permettrons de construire la suite.

1/ Toute partie non vide de possède un plus petit élément.
2/ Toute partie non vide majorée de possède un plus grand élément.
3/ n'est pas majoré.

Conséquences immédiates :

possède un plus petit élément noté 0.

Soit . Alors l'ensemble des entiers strictement plus grands que est non vide (sinon est un majorant de ) : son plus petit élément est appelé successeur de :

Soit . Alors l'ensemble des entiers strictement plus petits que est non vide (il contient 0) et majoré par : son plus grand élément est appelé prédécesseur de et est égal à :

[GaBuZoMeu]

Ben voila, c'est bien ce dont je me doutais : tu avais juste oublié de recopier ce qui est sans doute l'axiome le plus important : toute partie non vide admet un plus petit élément. Le contre-exemple que j'ai donné ne vérifie pas cet axiome, bien sûr !

[aviateur]

Bonsoir,

Dans mon livre, le principe de récurrence est énoncé ainsi :

Si est une partie de contenant et telle que :

alors

J'aimerais savoir : est-ce un théorème ? Ce résultat est-il admis en MPSI ?

Que cela soit un axiome ou un théorème et qu'il soit
admis ou pas en MPSI c'est trop compliqué pour toi
et c'est pas la peine de poser la même question sur
plusieurs forums,
Commence par faire des exos pratiques au lieu de faire du surplace

[mehdi-128]

A quoi ça sert de passer aux exercices quand on ne comprends pas toutes les démonstrations ?

[capitaine nuggets]

Salut !

Déjà la pratique ! Tu peux savoir tous les cours que tu veux (mais tu y passeras ta vie), si tu ne t'exerces pas un minimum, ces cours ne serviront à rien... Le cours est conçu comme un outil pour répondre à des questions, on ne créé pas un cours venu de nulle part sans motivation pour le plaisir de concevoir des exos dessus. Perso, quand j'ai un objet utilisable, je n'ai qu'une envie : l'utiliser, non ? Qui voudrais comprendre intégralement le fonctionnement de son téléphone portable avant de l'utiliser ?

Ensuite crois-tu vraiment que cela se passe comme ça en prépa ? Crois-tu vraiment que le commun des mortels a le temps de comprendre tout le cours quand il le recopie, ou quand il a un peu de temps pour le relire le soir ou le week-end ?

En général, les choses s’apprennent petit à petit : on commence par des choses abordables, simples, puis on se focalise vers des choses plus sophistiquées, difficiles.

De plus, ce n'est pas parce que tu ne comprends pas toutes les démonstrations, que cela doit t'empêcher de faire des exos : quand tu étais au collège ou au lycée, on ne démontrais pas tout et pourtant ça ne t'empêchais pas de faire des exos, si ? Il n'est pas rare d'ailleurs que dans certains cours on admet un résultat par difficulté, manque d'outils, manque de temps voire pertinence etc... Par exemple, j'ai vu le théorème de d'Alembert-Gauss en première année, mais j'ai dû attendre l'année suivante pour avoir une lourde démonstration analytique en deuxième année pour enfin, avoir une belle démonstration en troisième année.

Je rajouterais d'ailleurs que ce n'est que bien après avoir vu certaines choses, qu'on les comprends.

[mehdi-128]

Je ne suis pas en prépa donc j'ai le temps.

Oui mais dans le supérieur c'est pas comme au lycée, il faut comprendre les démonstrations et savoir les refaire pour réussir.

Peut être pas les plus difficiles (certaines sont non exigibles) mais comme les exercices sont difficiles parfois, il faut s'inspirer des méthodes vues dans les démonstrations.