ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

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Edrrrrrrrr
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ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

par Edrrrrrrrr » 27 Juin 2019, 23:23

Bonsoir à tous,
Je m'adresse à vous afin que vous puissez m'apporter un peu votre aide sur un problème que je rencontre en cours. C'est problème de physique qui est à résoudre à la base. Cependant, pour le moment je bloque un peu sur les maths...

L'objectif est d'étudier les vibrations longitudinales d'une barre encastrée à ses extrémités en x=0 et x=L.
Cette barre est constituée d'un matériaux élastique de module d'Young E et de masse volumique ρ.

Les vibrations de cette barre sont données par l'équation :

(1)

Avec les conditions limites :
(2) u(x=0,t)=0 et (3) u(x=L,t)=0
et les conditions initiales :
(4) u(x,t=0)=0 et (5)

Je dois déterminer la forme générale de la solution de l'équation (1) en utilisant la méthode de séparation des variables, c'est à dire en supposant que u(x,t) = f(x).exp(iwt).
Puis déterminer la solution analytique de l'équation.

Après avoir remplacer u(x,t) :



Je ne vois pas par quel est l'étape à suivre ensuite. J'espère que vous pourrez me débloquer un peu.

En vous remerciant d'avance pour votre aide!



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Re: ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

par GaBuZoMeu » 27 Juin 2019, 23:30

Ne vois-tu pas comment calculer les dérivées secondes par rapport à et à de ?

Edrrrrrrrr
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Re: ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

par Edrrrrrrrr » 27 Juin 2019, 23:40

Ici l’objectif est de résoudre une equation differentielle aux dérivés partielles.
Là vous me conseillez de calculer directement les derrivés secondes par rapport à x et à t ?

En cours, pour des equations plus simples, on effectuait une premiere intégration, puis une seconde intégration comme ordre 2.
Et ensuite on determinait les constantes avec les conditions limites/initiales.

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Re: ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

par GaBuZoMeu » 27 Juin 2019, 23:44

Ne veux-tu pas nous dire ce qu'est par exemple le qui figure dans ton équation ? (Ma question n'a rien d'un piège !).

Edrrrrrrrr
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Re: ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

par Edrrrrrrrr » 28 Juin 2019, 00:06

Je dirais que cela me donne ça :


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Re: ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

par FLEURISTIN » 28 Juin 2019, 00:32

:blub: :blub:

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Re: ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

par GaBuZoMeu » 28 Juin 2019, 09:46

@Edrr...
Bon maintenant tu peux continuer, n'est-ce pas.
Une remarque , ça peut s'écrire de manière plus sympathique !

Edrrrrrrrr
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Re: ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

par Edrrrrrrrr » 29 Juin 2019, 18:40



Et je remplace dans mon équation :





Et maintenant je résous l'équation différentielle?

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Re: ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

par GaBuZoMeu » 29 Juin 2019, 18:44

Edrrrrrrrr a écrit:

Un peu plus de soin, svp. D'abord, pour commencer, ce n'est pas , mais .

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Re: ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

par Edrrrrrrrr » 29 Juin 2019, 18:53

Oh pardon, désolé pour mon étourderie... --'






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Re: ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

par GaBuZoMeu » 29 Juin 2019, 19:25

Bon, après il faut voir les modes (les bons ), mais pour ça tu as sans doute un cours ...
Cette analyse modale, ce n'est pas le genre de choses dont je suis familier.

Edrrrrrrrr
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Re: ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

par Edrrrrrrrr » 29 Juin 2019, 21:44

Sans cela, impossible d'avancer ?

Je n'ai pourtant rien dans mon cours à ce sujet...

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Re: ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

par GaBuZoMeu » 29 Juin 2019, 21:59

Je m'arrête là. Juste je peux signaler le mode "rigide" avec , facile à traiter.

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Re: ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

par aviateur » 30 Juin 2019, 00:06

Bonjour
Il faut supprimer ton second membre pour pouvoir séparer tes variables.
Pour simplifier j'ai posé et on trouve comme famille de fonctions propres:
Il reste à remplacer dans l'équation en injectant le second membre et les conditions initiales à l'instant n=0.
Perso je trouve:

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Re: ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

par GaBuZoMeu » 01 Juil 2019, 14:27

@aviateur :
Et comment voit-on apparaître le "mode rigide" donné par ?
Il ne satisfait pas les conditions initiales portant sur et , bien sûr, mais on peut soustraire ce mode rigide à l'inconnue pour faire disparaître le second membre.
Je suppose qu'il apparaît sous forme d'une série de Fourier dans le résultat que tu donnes.

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Re: ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

par aviateur » 01 Juil 2019, 14:49

D'abord ta première question n'a pas de sens.
Ensuite je ne te permets pas de dire que les conditions initiales ne sont pas vérifiées d'autant plus que tu n'en sais rien.
En particulier en particulier u(x,0)=0 c'est très facile de voir que c'est correct.
Pour la deuxième, vérifie au moins numériquement qu'on retrouve avec

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Re: ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

par GaBuZoMeu » 01 Juil 2019, 14:59

aviateur a écrit:D'abord ta première question n'a pas de sens.
Ensuite je ne te permets pas de dire que les conditions initiales ne sont pas vérifiées d'autant plus que tu n'en sais rien.
En particulier en particulier u(x,0)=0 c'est très facile de voir que c'est correct.
Pour la deuxième, vérifie au moins numériquement qu'on retrouve avec

Tu es vraiment parano, aviateur !
Le "Il" de ma phrase "Il ne satisfait pas les conditions initiales" représente bien sûr bien sûr le mode rigide dont je parle à la phrase précédente !
Peux-tu relire mon message dans un esprit un peu plus constructif ? Merci !

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Re: ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

par aviateur » 01 Juil 2019, 15:11

que je sois parano ou non, la discussion s'arrête là.

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Re: ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

par GaBuZoMeu » 01 Juil 2019, 16:56

Ma première question avait un sens : le mode rigide apparaît bien dans la réponse donnée par aviateur, sous forme d'une série de Fourier. Pour tout dans , on a



Rassurant, n'est-ce pas ?

 

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