Rationnels et classe d'équivalence

[mehdi-128]

Bonjour,

Sur l'ensemble , on considère la relation :



1/ Il s'agit d'une relation d'équivalence. (C'est ok pour moi j'ai réussi à le démontrer)

2/ On définit un rationnel comme une classe d'équivalence pour cette relation.
J'ai du mal à comprendre déjà comment un rationnel peut être défini comme une classe d'équivalence alors qu'un rationnel est un nombre et une classe un ensemble

3/ En particulier, si est un représentant de , alors pour tout entier relatif , le couple est aussi un représentant de .
Je ne vois pas comment faire, j'ai des difficultés avec la notion de représentant.
Dans mon livre, la définition est : une partie de est une classe d'équivalence s'il existe un tel que . Un tel est alors un représentant de .
Comment traduire mathématiquement que est un représentant de ?

[Lostounet]

Salut,

Tu es d'accord que
1/3 = 2/6 ?

1/3 est un nombre rationnel qui a plusieurs écritures possibles (comme 2/6 ou 4/12....)

Les produits en croix te disent que si p/q = p'/q' alors p/q et p'/q' représentent le même nombre rationnel... Donc si ces deux rationnels sont égaux c'est que p*q'=p'*q

C'est l'intuition derrière ton exo.

[mehdi-128]

Ah d'accord merci. Mais comment le traduire formellement avec les ensembles ?

Comment écrire mathématiquement que est un représentant de ?

Par ailleurs, pourquoi on définit un rationnel comme une classe d'équivalence alors qu'un rationnel est un nombre et une classe un ensemble ?

[aviateur]

Ah d'accord merci. Mais comment le traduire formellement avec les ensembles ?

Comment écrire mathématiquement que est un représentant de ?

Par ailleurs, pourquoi on définit un rationnel comme une classe d'équivalence alors qu'un rationnel est un nombre et une classe un ensemble ?

Ici on a introduit la notion de rationnel comme une classe d'équivalence. ça c'est acquis.
Tu dis maintenant "qu'un rationnel est un nombre" et ça te gêne. Mais pourquoi? En effet quelle est ta définition de nombre?

[mehdi-128]

L'ensemble des nombres rationnels est un ensemble mais un rationnel est élément de cet ensemble.

Je n'ai jamais vu la définition de nombre.

[mehdi-128]

Pour l'histoire des représentants je pense avoir trouvé.

est un représentant de alors :

Il faut montrer que pour tout



Comme on a :

Donc :

On a montré que : est aussi un représentant de .