Espérance conditionnelle

par **Gorosei** » 24 Juin 2019, 19:13

Bonjour,

Soit X,Y deux variables aléatoire indépendantes uniformément distribués sur [0,3] et soit

1) Calculer E[X|Z]
2) Calculer E[Z|X]
3) Calculer E[Y|Z]
4) Prouver que pour toute fonction f mesurable bornée :

2)

3)

Pouvez vous m'aider pour la 1 et 4 svp.
Merci

par **LB2** » 24 Juin 2019, 19:21

Pour la 4, il faut utiliser l'indépendance de X et Y.

Pour la 1. , tu peux utiliser des densités

par **Gorosei** » 24 Juin 2019, 20:05

1)

chgt de variable:

et donc

Est-ce juste ?

par **Gorosei** » 24 Juin 2019, 20:30

4) si X et Y sont indépendants, alors

mais je ne vois pas comment l'utiliser avec la fonction.

par **LB2** » 24 Juin 2019, 20:56

si tu ne vois pas, repasse par des densités et utilise l'indépendance

par **LB2** » 24 Juin 2019, 20:57

Gorosei a écrit:1)
chgt de variable:

et donc
Est-ce juste ?

je pense qu'il y a un problème avec ton changement de variable qui n'est pas bijectif (X-1 n'a pas de raison d'être positif a priori)

par **Gorosei** » 24 Juin 2019, 21:31

Je divise donc en 2 lorsque X-1 est négatif et X-1 positif:

par **LB2** » 24 Juin 2019, 23:41

EDIT : Bêtise, voir le post de GBZM

par **Gorosei** » 25 Juin 2019, 01:12

Je prends alors

?

par **GaBuZoMeu** » 25 Juin 2019, 10:59

Intuitivement, il est clair que l'espérance de

sachant que

est :

si

(les deux valeurs

et

sont équiprobables)

si

.
Il n'y a pas de "raccord" en

.

Il n'y a plus qu'à confirmer cette intuition (juste) par un calcul.