Polynôme et matrice

[Nox2]

Bonjour,

Si on a A une matrice à coefficients réels, comment déterminer un polynôme Q de R[X] de plus petit degré possible tel que $A^{-1} = Q(A)$ ? Je pensais passer par le polynôme minimal mais j'ai des doutes. Merci.

[Mimosa]

Bonjour

Je pense que tu supposes que la matrice est bien inversible.

C'est une bonne idée de passer par le polynôme minimal .

On a . Donc et il n'y a qu'à lire l'inverse de

[Nox2]

Merci pour ton aide ! Du coup si par exemple je prends . J'aboutis à. Donc . Donc . Donc c'est un polynôme de degré 1 ?

[LB2]

Oui c'est ça!
en général si le polynôme minimal de A est de degré n (ici, il vaut (X+3)^2 ), alors l'inverse de A s'écrit comme un polynôme en A de degré n-1.
A condition bien sûr que A soit inversible

[Nox2]

D'accord merci