Les dattes à Dattier

[Dattier]

Bonjour,

@Perroquet : Bravo pour le 2 (ce n'était pas évident d'intuité la bonne propriété équivalente).

PS : un espace séparable effectivement c'est bien connue, mais il me semble que cette équivalence avec la sigma-compacité est moins connue, la sigma-compacité est plus commode que la séparabilité, en effet il est facile de montrer que sigma-compact entraine séparable, par contre c'est plus dure de prouver la réciproque.

Bonne journée.

[Dattier]

les dattes non encore cueillies :

3 : Borne sur les sigma-compacts
6 : inégalité de Jensen+
7 : fontion sous-lipschitzienne
9 : Fonction polyssante
11 : CNS de bijectivité
12 : Casser Diffie-Hellman
13 : l'improbable résultat 2
15 : Recouvrement minimal
16 : L'ensemble de Brouwer
20 : commutativité et point fixe
23 : Super théorème de l'application ouverte
24 : Principe de promiscuité (plus on est nombreux plus on est sérré)
25 : les groupes unis
27 : système groupé+
28 : fonction polyvex
29 : fonction convexe inverse
30 : Super Bolzano ?

[Dattier]

Bonsoir,

30 : le théorème de Super-Bolzano ?
Soit espace métrique.
A-t-on sigma-compact (voir l'énigme 2) ssi posséde un point d'accumulation.

Bonne soirée.

[perroquet]

Bonjour

3 :
Je vais démontrer que le cardinal d'un espace métrique sigma-compact est inférieur ou égal à celui de .

On sait qu'un espace métrique sigma-compact admet une partie dénombrable dense, que je vais noter . Notons:

est un ensemble dénombrable de boules ouvertes puisque et le sont.

Je définis maintenant une application de dans de la manière suivante: si est un élément de , alors, pour tout de , vaut 1 si appartient à et 0 autrement.

est injective car:
si et sont deux éléments distincts de , il existe tel que . contient un élément de . On choisit . appartient à , n'appartient pas à et donc .

On a construit une injection de dans qui a même cardinal que . Donc, le cardinal de est inférieur ou égal à celui de .

Conclusion:
Un espace métrique sigma-compact est de cardinal inférieur à celui de . La borne est atteinte puisque , muni de la valeur absolue, est un espace sigma-compact.
Même conclusion pour les compacts ( n'est pas compact, mais [0,1] l'est).

[perroquet]

3
J'ai trouvé dans Wikipedia, à l'article "Espace séparable", les informations suivantes:

Tout espace métrique séparable est isométrique à un sous-espace de C([0, 1]).

Un espace séparé à bases dénombrables de voisinages (par exemple : un espace métrisable) et séparable a au plus la puissance du continu.

Donc, le résultat demandé dans 3 est connu.
J'ai cependant eu le plaisir de trouver, seul, une démonstration.
De plus, cela m'a permis de constater que l'espace des fonctions continues de [0,1] dans a même cardinal que . Si on connait le résultat de 3 et si on ne veut pas utiliser les résultats donnés par Wikipedia que j'ai cités plus haut, il suffit de montrer que C([0,1]) est séparable. J'ai trouvé sur internet une autre démonstration dont j'ai compris les idées.

[MMu]

Salut,

29 : fonction convexe et inverse
fonction réel inversible et convexe. A-t-on convexe ou concave ?

Cordialement.

Résultat facile et biensur connu (si j'ai bien compris l'enoncé) : ça dépend de la monotonie de
bijective & continue -> monotone
convexe & croissante-> croissante & concave
convexe & décroissante -> décroissante & convexe

[Dattier]

Bonjour,

@Perroquet : Bravo.

@MMu : aurais-tu un lien ?

Bonne journée.

[azertytreza]

@MMu : aurais-tu un lien ?

pardon mais si j'ai compris l'énoncé comme l'a compris MMu alors ce n'est pas du niveau agreg (et donc dans ce cas pourquoi demander un lien?)

[Dattier]

Bonsoir,

@Azerty : MMu dit que c'est bien connu, je demande juste un lien pour le confirmer.

31 : Convergence uniforme
avec
A-t-on la convergence uniforme de la suite sur ?
Si oui, vers quelle fonction converge-t-il ?

32 : Somme de 2 cubes
Soit entier premier. Peut-il être la somme de 2 cubes ?

Bonne soirée.

[GaBuZoMeu]

25 : les groupes unis
On pose
Pour on note : le sous-groupe de d'ordre .
Calculer .

Explication : au code

Code: Tout sélectionner

L=[power_mod(5,i,101^2).digits(base=101, padto=2) for i in range(1,101)]
L.sort()
L.reverse()
print L

Sage répond
[[97, 77], [97, 58], [97, 36], [97, 17], [95, 63], [95, 52], [95, 41], [95, 30], [92, 100], [92, 67], [92, 33],etc.]

[MMu]

Bonsoir,

@Azerty : MMu dit que c'est bien connu, je demande juste un lien pour le confirmer.

.

(pb 29), exo 1ère année
0n a bijective, continue, convexe.
Supposons non monotone , donc il existe tels que
(ou ).
Il existealors un tel que (ou ).
est continue et d'après la TVI il existe tels que et
donc n'est pas injective (absurde).
Visiblement et ont la même monotonie.
Soit . Puisque est convexe :
Deux cas sont possibles :
1) est croissante donc :
Posons et on obtient concave
1) est décroissante donc : . ..
Posons et on obtient convexe

[MMu]

Bonsoir,

31 : Convergence uniforme
avec
A-t-on la convergence uniforme de la suite sur ?
Si oui, vers quelle fonction converge-t-il ?

Bonne soirée.

oui ..

La suite est positive décroissante et convergente vers

[Palmier7]

Bonjour,

33 :
Soit fonction de dans lui même strictement croissante.

Existe t il une suite injective de tel que




34 :
(*)

Déterminer le nombre maximal d utilisation du remplacement (*) dans le mot .


35 :
Soit K un compact connexe du plan.
La frontière de K est elle aussi connexe ?

[GaBuZoMeu]

Tiens Dattier-Idriss-Palmier7 de retour ?
La réponse à 35 est évidemment négative.
Pour 34, sauf erreur si est le nombre de (99 dans l'exemple), on trouve .

[nodgim]

ça date ....

[Palmier7]

@Gbzm : j ai trouvé un vip qui partage la même idée que moi sur les maths ce qui rend moins hérétique mes idées.

Pour ce qui est de tes réponses, j attends une justification si tu en as une.

[Palmier7]

E36 :


Déterminer .

[GaBuZoMeu]

Tu n'es pas d'accord avec mes réponses ?
J'attends une justification de ce désaccord.

[Palmier7]

Avec toi les jours se suivent et se ressemblent :

Ecoute tu veux proposer tes propres énigmes ouvrent un fil à c'est effet.

Si tu veux participer à ce fil, c'est simple si tu as une réponse tu la donnes, inutile de jouer avec moi aux questions réponses, sinon merci de passer ton chemin.

Tu sais je commence à bien te connaître Anna E., et je vois bien à quoi tu joues, tu devrais renouveller ta panoplie de réponses car tu deviens de plus en plus prévisible.

до свидания

[Palmier7]

37 : groupes unis
Soit le produit des 100 premiers entier premiers.
On note les groupes d ordres .
Calculer .