Développement limité

[Obito31]

bonjour,

voila je bloque sur un exo

soit f la fonction suivante : f(x,y) = ln( 1 + x*exp(y) ) - y²x si x > 0
ln( 1 + x*exp(y) ) sinon

question : quelle est le dl a l'ordre 2 en ( 0 , 0 ) ? on traira avec soin la questions des petit o

on a que ln ( 1 + x*exp(y) ) -y²x = x*exp(y) - x²exp(2y)/2 + o( x²exp(2y) ) - y²x

maintenant le dl de exp nous donne : x( 1+y+o(y) ) - x²(1 + 2y +o(y) )/2 - y²x + o( x²exp(2y) ) = x + xy - x²/2 - x²y - x²*o(y)/2 - y²x + o( x²exp(2y) ) + x*o(y)

maintenant je doit montré que -x²y - x²*o(y)/2 - y²x + o( x²exp(2y) ) + x*o(y) = o( x²+y²) et c'est la où je bloque

[aviateur]

Bonjour
Une façon simple pour montrer que chaque terme c'est d'utiliser la norme 2.
(en passant en coordonnées polaires)

Par exemple
d'où
Et par ailleurs chaque monôme de degré 3 est un o(x^2+y^2)

autre exemple .
En effet où tend vers 0 quand (x,y) tend vers 0.

Donc ensuite passer à la valeur absolue et majoration par fois une fonction qui tend vers 0.

Si j'ai bien compris on te demande de revenir aux définitions pour bien justifier (comprendre) que dans chaque cas que tu as bien un

[LB2]

Bonjour,

à ce sujet, je me demandais si, au delà de la formule de Taylor Young à 2 variables, il existait une théorie un peu rigoureuse des développements limités à deux variables... aviateur, tu connais ?