Topologie de la convergence simple et topologie produit

[GaBuZoMeu]

As-tu vu la première remarque sur la page wkipedia ?

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As-tu vu la première remarque sur la page wkipedia ?

Sur wikipedia, la convergence simple est la topologie produit. Ce qu'ils disent s'applique donc à la topologie produit qui est une topologie (parmi d'autres) qui vérifie (*). Et cette topologie n'est pas séquentielle.

Ça ne m'aide pas à comprendre si il y a d'autres topologies qui vérifient (*).

Par contre ils n'affirment pas non plus l'unicité, ils disent bien que "Il existe au moins une topologie pour laquelle la convergence des suites de fonctions n'est autre que la convergence simple".

Donc ça confirme en effet ce que j'ai compris.

J'aurais envie d'écrire que la topologie produit est UNE topologie de la convergence simple.

Bon, de toutes façons je pense que ces résultats, bien sont théoriquement très intéressants, sont peu utiliesa dans la vie courante, et qu'on utilise toujours la définition et quasiment jamais cette topologie, pour savoir si une suite de fonctions converge simplement.

Merci de ta réponse, elle a l'air très bien cette page wikipedia.

[GaBuZoMeu]

La page wikipedia te dit que la convergence simple des suites généralisées caractérise bien la topologie produit.

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La page wikipedia te dit que la convergence simple des suites généralisées caractérise bien la topologie produit.

La topologie produit étant une topologie vérifiant (*).

Mais il y en a peut-être d'autres. En tout cas c'est ce que j'ai compris, c'est ce dont je cherche une confirmation.

(Les suites généralisées et les filtres, ça m'a l'air super intéressant, mais ce pas du tout au programme de l'agreg, et n'ai pas le niveau pour faire du hors-piste ).

[GaBuZoMeu]

C'est simplement le problème que certaines topologies ne peuvent pas être caractérisées par les suites qui convergent pour cette topologie.
Une caractérisation de la topologie produit sur $Y^X$ : c'est la topologie la moins fine telle que pour tout $x\in X$, l'évaluation $f\mapsto f(x)$ soit continue.

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Est-ce qu'on est capable de construire une topologie sur Y^X (où Y est un espace topologique quelconque) dont la convergence serait équivalente à la convergence simple, mais qui ne serait pas la topologie produit ?

EDIT : j'ai corrigé, merci

[GaBuZoMeu]

Y^X, tu veux dire ?
La question se pose déjà pour X = un point . Regarde cette page.

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Je vois ce que tu veux dire, même si j'avais l'impression de faire le chemin à l'envers.

La topologie produit sur Y^X n'est pas caractérisée par l'ensemble des suites convergentes.
Bien que l'ensemble des suites convergentes soit les suites de fonction convergeant simplement (i.e. (*))

Donc aucune topologie sur Y^X vérifiant (*) ne peut être caractérisée par l'ensemble des suites convergeant simplement.

Merci

[GaBuZoMeu]

Donc aucune topologie sur Y^X vérifiant (*) ne peut être caractérisée par l'ensemble des suites convergeant simplement.

Je ne serais pas aussi catégorique. Si Y est métrique et X pas trop gros par exemple, il n'y a pas de problème.