Limites: résultats obtenu toujours = à 0.

[Dimitri42]

Bonsoir, je me nomme Dimitri et je suis en première année de Biologie à la Faculté des sciences et techniques. La raison pour lequel je vous écris ce message sont pour les raisons suivantes:

Lorsque je fais mon exercice de mathématique ayant pour consigne "Calculer, lorsqu'elles existent, les limites suivantes"; je constate que je tombe systématiquement sur un résultat = 0 pour les 4/5 fonctions qui tendent vers 1 ou vers 0.

- La première fonction a pour limite 2, c'est la fonction qui sort du lot.

Je voudrai donc avoir votre avis sur mon exercice, si effectivement les limites ont pour résultats 0. Choses que je doute. Mon doute est plus un ressentis/ peur que cela soit un piège du prof .

Je ne veux pas avoir le résultat directement afin que je puisse dans le cas où j'ai tord, reprendre mes calcules avec éventuellement vos pistes de réflexion.

Pièce jointe: exercice 2 Feuille 2 - Fonctions limites, continuité



Dans l'attente d'une réponses, je vous remercie sincèrement.

[pascal16]

il faut que tu héberges ta feuille sur un site internet (postimage pour une image par ex) si tu veux qu'on la voit

[Dimitri42]

il faut que tu héberges ta feuille sur un site internet (postimage pour une image par ex) si tu veux qu'on la voit

C'est bon ?

[pascal16]

ok

pour la a :

quand x tend vers 1, une constante tend vers elle même.
quand x tend vers 1, 2x tend vers 2
quand x tend vers 1, x² tend vers 1²=1
car toutes sont des fonctions continues au point considéré.

x²+2x+3 tend vers 1+2+3=6 quand x tend vers 1.
on fait de même au dénominateur
on fini par une fraction.

la version courte est de dire que la fonction est continue en 1, sa limite en 1 est donc f(1)

[pascal16]

pour la b : oui, la fraction dans le ln tend vers 1, ln est continue en 1, la limite est alors ln(1)=0

c : tu n'as pas de problème pour diviser par 0 ?
même si le numérateur tend vers 0, si le dénominateur tend vers 0, la fraction peut prendre toutes les valeurs
-> il faut mettre (x-1) en facteur en haut et en bas, on simplifie, l'indéterminé est levée.
-> on peut alors prolonger par continuité la fonction en 1, elle accepte alors une limite en 1.

la question est mal posée, on aurait du te demander de comparer les limites en 1+ et et 1- ou de déterminer si elle est prolongeable par continuité, car posée comme ça, à chaque fois que le dénominateur vaut 0 en 1, la fonction n'est pas définie en 1 et y donc non continue.

[GaBuZoMeu]

la question est mal posée

Je ne trouve pas. La question n'est pas "est-ce que la fonction est continue en 1", la question est "quelle est la limite en 1". Cette question a bien un sens même si le domaine de définition de la fonction ne contient pas 1.

[Dimitri42]

ok

pour la a :

quand x tend vers 1, une constante tend vers elle même.
quand x tend vers 1, 2x tend vers 2
quand x tend vers 1, x² tend vers 1²=1
car toutes sont des fonctions continues au point considéré.

x²+2x+3 tend vers 1+2+3=6 quand x tend vers 1.
on fait de même au dénominateur
on fini par une fraction.

la version courte est de dire que la fonction est continue en 1, sa limite en 1 est donc f(1)

Merci, j'ai effectivement eu a faire à cette méthode.

[Dimitri42]

c : tu n'as pas de problème pour diviser par 0 ?
même si le numérateur tend vers 0, si le dénominateur tend vers 0, la fraction peut prendre toutes les valeurs
-> il faut mettre (x-1) en facteur en haut et en bas, on simplifie, l'indéterminé est levée.
-> on peut alors prolonger par continuité la fonction en 1, elle accepte alors une limite en 1.

Problème
Nous avons "0/0" donc ceci étant une indéterminé nous devons trouvé une manière pour ne pas avoir "0/0".

Solution
- Faire le conjugué de x + 1 c'est à dire mettre en facteur x-1 en haut et en bas. (réponse que tu m'apporte).
- Mettre le plus haut degré en facteur. (Éventuel solution ?) .

Merci.

[GaBuZoMeu]

Solution
- Faire le conjugué de x + 1 c'est à dire mettre en facteur x-1 en haut et en bas. (réponse que tu m'apporte).

Conjugué de quoi ???
L'idée est juste ici de simplifier la fraction, ce qui est toujours un bon réflexe (à employer aussi pour le dernier exemple).

- Mettre le plus haut degré en facteur. (Éventuel solution ?) .

Ça ne sert que pour étudier une limite en , ce qui n'est pas le cas ici.

[Dimitri42]

- Mettre le plus haut degré en facteur. (Éventuel solution ?) .[/quote]
Ça ne sert que pour étudier une limite en , ce qui n'est pas le cas ici.[/quote]

Merci, je ne le savais pas. je l'ai noté.

Pour la b j'ai trouvé Ln(1/1) = 0.

Je continu mes calcules en prenant en compte ces techniques. (factorisé en haut et en bas). Ou mettre au plus haut degré en facteur pour seulement les limite en + ou - l'infini.

[Dimitri42]

J'ai réussis à trouvé 1/2 pour la limite de la question d).
Pourriez-vous m'aider pour la question c et e. Merci.

[pascal16]

pour ce qui est de l’existence de la limite, en effet, si on parle de l'expression (et pas de fonction), on peut donner une limite sans considération autre.

pour la c

x²-3x+2 = (x-1)(x-2)
x²+x-2= (x-1)(x+2)

pour x différent de -2 et 1
(x²-3x+2 )/(x²+x-2) = (x-2)/(x+2) dont la limite en 1 est évidente : -1/3

[Dimitri42]

pour ce qui est de l’existence de la limite, en effet, si on parle de l'expression (et pas de fonction), on peut donner une limite sans considération autre.

pour la c

x²-3x+2 = (x-1)(x-2)
x²+x-2= (x-1)(x+2)

pour x différent de -2 et 1
(x²-3x+2 )/(x²+x-2) = (x-2)/(x+2) dont la limite en 1 est évidente : -1/3

Merci, je continu à chercher pour la e. En espérant avoir une aide pour cette question. Au moins sur la méthode.

[GaBuZoMeu]

Comme je l'ai déjà écrit, la méthode est la même pour ce dernier exemple que pour le c : simplifier la fraction !

[pascal16]

Quand tu auras fait la théorie sur les polynomes, tu verra que si

x²-1 s'annule pour x=1, alors on peut factoriser par (x-1)
on reconnait assez facilement une identité remarquable, sinon, on pose une équation

x²-3x+2 s'annule en 1, on peut le factoriser par (x-1)

comme le terme de poids le plus fort a 1 comme coefficient, on va avoir :
x²-3x+2 = (x-1)(x + ? )
? est assez évident

[Dimitri42]

Je vous remercie, j'ai pu comprendre que lorsque nous avons la forme "0/0", il s'agissait bien d'une indétermination.
J'ai aussi compris que pour résoudre ce genre de problème nous pouvions avoir besoins de l'aide de technique mathématique: La factorisation puis simplification, multiplié le contraire au numérateur et au dénominateur afin de pouvoir simplifié, factorisé au plus grand degré et simplifié a pu me servir.
Je note ça pour les personnes qui lirons le Topic.
Bonne journée.