Les dattes à Dattier

[Dattier]

Salut,

Je vais proposer des énigmes originales de maths qui ont une réponse de moins d'une dizaine de lignes niveaux max agreg.

Cordialement.

[Dattier]

1 : une question de bijectivité résolue par GaBuZoMeu
Soit , et tel que, pour .
Trouver une CNS sur les pour que soit bijective.


2 : caractérisation séquentielle des sigma-compacts résolue par Perroquet
Soit un espace munit d'une topologie, on dit que est sigma-compact si :
pour tout recouvrement infini d'ouvert il en existe un sous-recouvrement dénombrable .

Dans le cas d'un espace métrique, déterminer une caractérisation séquentielle de la sigma-compacité.


3 : Borne sur les sigma-compacts résoule par Perroquet
a/ Existe-t-il une borne du cardinal atteinte sur les compacts métriques ?
b/ Existe-t-il une borne du cardinal atteinte sur les sigma-compacts métriques ?


4 : calcul exact avec la partie entière résolue par Perroquet
Soit tel que . A-t-on ?


5 : suite récurrente non linéaire : résolue par Perroquet
et . Calculer .

Avec la partie entière :

[Dattier]

6 : inégalité de Jensen+
Soient et

A-t-on ?


7 : fontion sous-lipschitzienne
Soit une fonction de métrique dans .
On dit que est sous-lipschitzienne ssi réel continue croissante tel que et .

Soit fonction quelconque, avec munit d'une norme

A-t-on continue ssi est sous-lipschitzienne ?


8 : Cosinus et liberté résolue par Oty
Existe-t-il tel que soit -libre ?


9 : Fonction polyssante :
Une fonction polyssante est une fonction de dans les réels, tel qu'il existe un polynôme non constant à 4 variables tel que : .

a/ Y-a-t-il des fonctions polyssantes tel quelles soient croissante, 1-lipschtiz ou 1/2-holderienne ?

b/ Existe-t-il P polynôme tel que toutes les fonctions continues de [0,1] dans les réels soit P-polyssante avec les fonctions discontinues non-P-polyssante ?


10 : Série alternée en cascade résolue par Hichamalpha
Soit une série alternée, est-ce que la série de terme générale est aussi alternée ?

[Dattier]

11 : CNS de bijectivité
Soit un nombre permier, tel que .
Trouver une CNS sur et les coeffs de pour que soit une bijection de dans lui même.

12 : Casser Diffie-Hellman
Montrer que casser Diffie-Hellman, revient à pouvoir calculer avec élement générateur du groupe multiplicatif, sur avec premier.

13 : l'improbable résultat 2
Soit un nombre premier, une sequence finie d'entier distincts de , avec
tel que
et .
A-t-on : ?

14 : Polynôme et diviseur résolue par FLBP et Perroquet


15 : Recouvrement minimal
Soit un corps fini, un entier, on se place dans le -ev .
Combien au minimum faut-il d'hyper-plans pour recouvrir ?

[GaBuZoMeu]

15 : hyperplans affines : , hyperplans vectoriels : .
Je me souviens que tu l'avais déjà posé, et que le résultat t'avait étonné (tu pensais que c'était plus).

[Dattier]

Oui, exacte.

PS : il y a aussi le 8 qui a été résolu (sur un autre forum).

[Dattier]

16 : L'ensemble de Brouwer
est l'ensemble des fonctions continues avec un point fixe, munit de la norme uniforme.
a/ est-il fermé ?
b/ est-il d'intérieur non vide ?
c/ est-il connexe ?


17 : Toute fonction est-elle continue ? résolue par GaBuZoMeu
Soit une fonction réel quelconque. Existe-t-il, des bijections réels tel que : soit continue ?


18 : la vraie bijection résolue par Perroquet
Si A est en vrai bijection avec B sous parties de et A B alors A=B : (1)
Si A et B finies sous parties de , alors A et B sont en vrai bijection ssi card(A)=card(B) : (2)

Trouvez une définition de la vraie bijection des sous parties de , tel que :
(1) et (2) soient vraies.


19 : Compact radin résolue par Perroquet
Un compact est dit radin, s'il existe tel que et
, avec
Existe-t-il un compact radin ?


20 : commutativité et point fixe
euclidien avec 2 fonctions continues de la boule unité, vers la boule unité, avec 1-lipschitz et .
A-t-on l'existence d'un point fixe commun à et ?

[Dattier]

21 : Racine scindé résolue par GaBuZoMeu
Soient .
est-il scindé dans ?

[Dattier]

22 : Racine complexe résolue par GaBuZoMeu
Soient et .
a-t-il au moins une racine non réel ?

[Dattier]

23 : Super théorème de l'application ouverte
Soit fonction linéaire bijective de dans lui même. A-t-on continue ?

[MMu]

Pourquoi tant de haine

[Dattier]

Pourquoi cela ?

[Imod]

Ben , un à la fois ça peut être amusant ( pour certains) mais le paquet en entier c'est vraiment trop lourd

Imod

[Dattier]

Tu n'en choisies qu'un à la fois, aprés cela ferait trop de fil, je prèfére tout regrouper dans un seul.

[MMu]

1 : une question de bijectivité
Soit , et tel que, pour .
Trouver une CNS sur les pour que soit bijective.

C'est assez facile : est une permutation de

[Dattier]

Oui, mais reste à expliquer pourquoi c'est une CNS.

[GaBuZoMeu]

On peut procéder par récurrence sur , en remarquant qu'il y a forcément parmi les , on peut supposer que c'est . Ensuite, les sommes sans sont les nombres pairs entre et , on divise tous les restants par .

[Dattier]

Ensuite, les sommes sans sont les nombres pairs...

Pourquoi sont-ils forcément pairs ?

[GaBuZoMeu]

Facile à voir. Je te donne une indication : l'ajout de réalise une bijection entre l'ensemble des sommes sans et l'ensemble des sommes avec.

[Dattier]

Ok, quand tu sauras résoudre l'énigme n'hésite pas à me biper (le chemin que j'ai en tête n'est pas celui-ci).