Le paradoxe des deux enfants

[beagle]

C'est un classique comme les 3 portes, mais on ne l'a jamais trop bossé sur maths forum ces dernières années.
Alors comme je suis allé sur le site de mon ami Pierre,
je ne sais pas si j'irai répondre sur place, Pierre c'est pour toi sur maths forum.

Donc le problème est le suivant, la proba dans deux situations différentes:
situation numéro 1 : M. Jones a deux enfants. L'enfant aîné est une fille. Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des filles ?
situation numéro 2:M. Smith a deux enfants. Au moins l'un des deux est un garçon. Quelle est la probabilité que les deux enfants soient des garçons ?


La réponse est assez claire sur wikipedia,

https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_deux_enfants

mais peut-être qu'elle est trop complète et que des gens s'y perdent.
Tout y est je pense, suffit de lire.
On fera dans ce fil de discussion un éclairage à base d'exemple.

[beagle]

Comme c'est rangé dans les paradoxes, autant ètre paradoxal dans la réponse.
Et donc le problème des deux enfants est un banal problème de deux dés.
On va voir ici facilement que "le au moins 1" correspond à deux situations différentes, deux informations différentes, et qu'il est donc tout à fait normal d'avoir deux réponses différentes lorsque les infos données sont différentes.

Donc prendre deux dés classiques (six faces numérotées 1à 6) et deux gobelets.
L'aléatoire du dé c'est en secouant le gobelet sans faire sortir le dé du gobelet pour les maladroits.
Et on retourne le gobelet sur la table de façon à masquer le résultat.

Proba: on va chercher proba avoir deux fois le 1

Je n'ai aucune info possible.
Ben 1/6 * 1/6 = 1/36
où 36 couples possibles et un seul couple favorable(1,1) font 1/36

Maintenant j'ai un comparse qui va m'aider et m'informer.
Il est chargé, c'est sa mission, de m'informer si j'ai au moins 1 dé avec le 1.

Mais tous les comparses ne se valent pas.

Premier comparse:
c'est la situation 1 du problème précédent
Le gars soulève un des gobelets et là me dit il y a au moins un 1.
C'est soit le comparse le moins futé, soit c'est mon comparse le plus complice,
parce que moi je dis,
ben 1/6 que avoir un deuxième 1 (dans le gobelet non visité)
Donc on a une situation où le français, le langage dit "au moins 1"
et là on est à 1/6 d'avoir les deux 1

Deuxième comparse:
c'est la situation 2 du problème précédent
Le gars soulève les deux gobelets (sans me montrer le resultat évidemment), je l'ai vu avoir soulevé les deux gobelets, et là il me dit ben t'en as au moins 1.
C'est soit le comparse le plus neutre, le moins complice, parce que là cela change tout:
Je dois chercher dans les couples qui ont un 1, celui qui est (1,1)
Or j'ai 1 couple (1,1)
et j'ai 5 couples (1, 2à6) et 5 couples (2 à 6 ,1)
au total 11 couples
et un seul favorable
ma proba est 1/11

Donc c'est bien la quantité d'information qui est différente dans les deux situations,
et tout naturellement cela change mes probas

[beagle]

On revient aux enfants .

On va fixer un peu cette version là que j'aime bien:
J'ai de nouveaux voisins. Je sais qu'ils ont deux enfants et au moins une fille.
Je vois une fille dans le jardin et je discute avec ma femme.
Tu crois qu'ils ont deux filles?
Le sens commun dit : bah celle que tu ne vois pas, qui est dans sa chambre 1/2 d'ètre fille
Le mathématicien qui débute dit j'ai fait les calculs, ils ont au moins une fille c'était de proba 1/3 avoir deux filles. C'est pas en voyant une fille dans le jardin que j'en sais plus, ils ont une fille au moins et c'est tout.
Et bien non c'est pas tout.
Pour comprendre on doit savoir qui est sorti jouer dans le jardin.
Le matheux dit j'ai au moins une fille c'est une de ces trois situations équiprobables:
F puis F
F puis G
G puis F
donc on va habiller les enfants
F1 F2
Fa Ga
Gb Fb
si équi proba, on a équiproba d'avoir dehors:
F1 , F2, Fa , Ga , Gb , Fb
dehors j'ai 4 chances sur 6 d'avoir une fille et deux chances sur 6 d'avoir un garçon.
Et j'ai F1 et F2 deux évènements favorables sur les 4 filles qui appartiennent à l'évènement deux filles.

Donc avec j'ai au moins une fille,
j'ai une chance sur deux en voyant une fille dehors d' ètre dans la situation il ya deux filles

[beagle]

J'ai mis la version un enfant dans le jardin car cela précise un des enfants,
sans le préciser et le fixer autant que c'est l'ainé ou c'est la cadette,
qui est absolument sans difficulté dans l'arbre de proba.

[GaBuZoMeu]

Pour ne pas s'y perdre :
1) bien établir l'univers des issues possibles,
2) bien expliciter la mesure de probabilité sur cet univers,
3) bien spécifier les événements

Pour l'histoire de Beagle :
Il est convenable de prendre comme issues possibles les triplets (sexe du premier enfant, sexe du second enfant, rang de l'enfant du jardin dans la fratrie), et faute d'information supplémentaire, de décréter toutes les issues équiprobables.
L'événement "il y a au moins une fille et une fille est dans le jardin" est donc
{(F,F,1), (F,F,2), (F,G,1), (G,F,2)}
La probabilité qu'il y ait deux filles sachant cet événement est facile à calculer, modulo l'hypothèse d'équiprobabilité.

[beagle]

Bon alors avec tout cela j'ai fait le plus difficile pour moi,
l'histoire de je vois un enfant qui apporte une info supplémentaire moins visible que de fixer l'ainée, fixer la blonde versus la brune, fixer, là on voit juste une fille dans le jardin, mais on sait qu'ils ont au moins une fille, cela ne semble rien apporter, et bien si.
D'ailleurs le paradoxe des 3 portes c'est idem, c'est comment faire pour que le sens commun ne voit pas que quelque chose a changé, c'est ce apparemment : "oui et alors on le savait déjà " qui fait la magie du tour de passe-passe.

Avec tout cela j'ai fait en fait dans le sens de Pierre, puisque pour lui c'est 1/2 et jamais 1/3 j'imagine.
Alors c'est expliqué dans wiki,
mais on peut reprendre un support d'arbre de proba:

Avoir au moins une fille ,
c'est avoir seulement l'ainée, ou avoir seulement la cadette, ou avoir les deux qui sont filles.

1)avoir seulement l'ainée fille:
c'est ètre fille 1/2 fois dans l'arbre 1/2 frere garçon = 1/4

2)seulement la cadette fille
1/2 ainé garçon et 1/2 etre fille = 1/4

3) deux filles :
1/2 ainée fille fois 1/2 cadette fille

L'arbre de proba donne 3 branches finales équiprobables à1/4 pour arriver à au moins une fille.
Donc en proba conditionnelle on change l'ensemble "tout", ici l'ensemble de tous les cas j'ai au moins une fille,
se divise de façon équiprobable en 3 possibilités
Donc puisque j'ai changé mon tout et que j'ai tous les équiprobables,
DANS "j'ai au moins une fille":
1/3 est deux filles
2/3 est une fille et un garçon.

ça c'est le minimum syndical, et le miminum syndical il dit 1/3 avoir deux deux filles.

ce n'est qu'en apportant d'autres infos qs messages précédents que l'on bougera le 1/3

en brut de brut et sans rien savoir d'autre c'est 1/3 Pierre
cela te soucie où?

[beagle]

Et je reprends mon fameux c'est pas le calcul qui explique.
Un calcul à base de formule qui aboutirait au résultat, ne ferait que me dire la bonne réponse,
mais ne ferait en rien une explication.
Comprendre la situation c'est comprendre grace au calcul, le calcul se faisant sur un support ensembliste, arbre de proba, un truc très physique dedans, dehors, en haut , en bas...
Enfin chez moi c'est comme ça, on a qu'à dire parce que je suis limité!

[GaBuZoMeu]

Vu quelque part :
"une famille a k enfants, on sait qu'il y a au moins k-1 filles, quelle est la probabilité que tous les enfants soit des filles ?"
Ici l'univers est l'ensemble des 2^k listes des sexes des k enfants, dans l'ordre de naissance. Hypothèse usuelle : les 2^k issues sont équiprobables.
Parmi ces 2^k listes, combien comportent au moins k-1 "F" ? Facile, il y en a une qui ne comporte que des F et k qui comportent exactement un G.
L'événement "au moins k-1 filles" a donc k+1 éléments. La probabilité que tous les enfants soient des filles sachant qu'il y a au moins k-1 filles est donc 1/(k+1).

1/3 pour k=2. 1/11 pour k=10.

Un petit test en python :

Code: Tout sélectionner

from random import *

def test(k,n) :
    nbpF=0 # nb de familles avec au moins k-1 filles
    nbtF=0 # nb de familles avec k filles
    for i in range(n) :
        nbG=0 # nb de garçons dans la famille
        for j in range(k) : nbG = nbG + randrange(2)
        if nbG <= 1 : nbpF += 1
        if nbG == 0 : nbtF += 1
    print ("nb total de familles à",k,"enfants :",n)
    print ("nb de familles avec au moins",k-1,"filles :",nbpF)
    print ("nb de familles avec",k,"filles :",nbtF)
    print ("proba qu'il y ait",k,\
           "filles sachant qu'il y a au moins",k-1,"filles :",\
          round(nbtF/nbpF,2))

test(4,10000)

donne :
nb total de familles à 4 enfants : 10000
nb de familles avec au moins 3 filles : 3051
nb de familles avec 4 filles : 630
proba qu'il y ait 4 filles sachant qu'il y a au moins 3 filles : 0.21

[Sylviel]

Essayer d'argumenter avec "Pierre" est complètement illusoire : il refuse les définitions les plus partagées, ne comprends pas les concepts les plus élémentaires des probas (variable aléatoire, espérance...), où le fonctionnement d'un raisonnement mathématique, ou même simplement le fait qu'un théorème a des hypothèses, et que rappeler les hypothèses n'est pas dire "le théorème est faux".

Pour refaire synthétiquement l'argument des "deux enfants" :
1) puisqu'on suppose que chaque naissance a une chance sur deux d'être G et une sur deux d'être F, et qu'on suppose que le sexe du premier enfant n'influe en rien sur le second,
les 4 possibilités sont équiprobables (de proba 1/4).
2) on obtient l'information "au moins l'un des enfants est une fille".
L'univers est maintenant restreint à les évènements élémentaires étant équiprobable (de proba 1/3)
3) L'évènement "l'autre enfant est un garçon" est donc de proba 2/3

2bis) on obtient l'info "l'ainée est une fille".
L'univers est maintenant restreint à les évènements élémentaires étant équiprobable (de proba 1/2)
3bis) L'évènement "l'autre enfant est un garçon" est donc de proba 1/2

GBZM ci-dessus a fait un petit code pour vérifier numériquement tout cela.

edit : bien évidemment on aurait pu prendre un tirage de pièce et avoir exactement la même chose : si on sait "au moins une face" on est dans le cas 2, si on sait "la première pièce est face" dans le cas 2bis.
(C'est une évidence absolue mais visiblement pas pour tous...)

[GaBuZoMeu]

Maintenant, le problème de beagle à paramètre :
J'ai de nouveaux voisins. Je sais qu'ils ont enfants et au moins filles.
Je vois enfants dans le jardin, rien que des filles et je discute avec ma femme.
Tu crois qu'ils ont filles?

[GaBuZoMeu]

Pour le problème de beagle à paramètres en fixant (il n'y a plus qu'un paramètre, ), on peut raisonner en utilisant une de ces bijections que beagle affectionne tant : la bijection qui change le sexe de l'enfant qui n'est pas le jardin montre que la probabilité que tous les enfants soient des filles est 1/2, quel que soit .

[GaBuZoMeu]

Le problème de beagle à paramètres est vraiment marrant et plein d'aspects que je ne soupçonnais pas au départ.

Appelons beagle(k,l,m) la probabilité pour que la famille du voisin dont on sait qu'elle compte k enfants dont au moins l filles et dont on aperçoit m enfants dans le jardin, toutes des filles, n'ait que des filles.
Cette probabilité est l'inverse d'un entier, appelons cet entier cobeagle(k,l,m) = 1/beagle(k,l,m).

Alors :

1°) cobeagle(k,l,m)=cobeagle(k+p,l+p,m+p) pour tout entier naturel p.

2°) pour tout entier naturel d et tout entier naturel n,
cobeagle(n+d,n,d) est le nombre maximal de morceaux que l'on obtient par n coupes hyperplanes dans un hypercube de dimension d. Par exemple cobeagle(n+2,n,2) est le nombre maximal de morceaux que l'on peut faire en n coups de ciseaux rectilignes à partir d'une feuille de papier. Ou encore cobeagle(n+3,n,3) est le nombre maximal de morceaux que l'on peut faire dans un cake en n coups de couteaux (cake number).

Étonnant, non ?

[GaBuZoMeu]

Quelques remarques :

fait sens pour et (pas d'obstacle à ce que soit un entier négatif).

La propriété 1°) d'invariance du beagle et du cobeagle par addition d'un même entier à tous les arguments est assez facile à voir : armez-vous d'un fusil à lunette et descendez toutes les filles que vous voyez dans le jardin du voisin. Vous avez alors (travaux pratiques fortement déconseillés).

[GaBuZoMeu]

Bon, ça n'a pas l'air de passionner les foules, mais je me fends tout de même d'une explication du rapport entre le cobeagle et le nombre de morceaux de pizza qu'on peut découper en n coups de couteaux.
Soit le nombre maximal de morceaux que l'on peut découper en dimension en faisant coups de couteaux (c.-à-d. avec hyperplans en position générale). J'ai affirmé que .
Pourquoi est-ce vrai ?
J'ai déjà expliqué plus haut que l'usage du fusil à lunette permet de montrer que . Cette dernière quantité est égale au nombre de suites de longueur composées de G et de F et dans lesquelles il y a au moins F (et donc au plus G). Facile à calculer, c'est (étant entendu que si ).

Et maintenant, que se passe-t-il pour le nombre de morceaux ? Les "conditions initiales" sont faciles à donner : pour tout et tout , (si vous préférez, ).
On a une relation de récurrence pour et : . En effet, le nombre de morceaux découpés au bout de coups de couteaux est égal au nombre de morceaux découpés au bout de coups, plus le nombre de ces morceaux qui sont coupés en deux par le -ème coup ; ce dernier nombre est le nombre de morceaux découpés par coups en dimension 1 de moins (en se plaçant dans l'hyperplan de coupe). Un petit dessin pour aider à voir :



Il ne reste plus qu'à faire le petit exercice facile sur le triangle de Pascal qui consiste à vérifier que la formule donnée pour est bien celle qui vérifie les conditions initiales et la relation de récurrence pour .

[GaBuZoMeu]

Ah au fait, mes excuses à Beagle pour avoir détourné son fil. Mais comme il apprécie la diversité des points de vue, j'espère qu'il aimera bien.

[beagle]

Ah au fait, mes excuses à Beagle pour avoir détourné son fil. Mais comme il apprécie la diversité des points de vue, j'espère qu'il aimera bien.

J'apprécie.
Et comme mon dada c'est sur quoi on assoit le raisonnement,
et bien le cake number ne peut que me convenir!