Exercie sur les temps d'arrêt

[daoumourad]

Bonjour,
J'essaye de faire un exercice, j'ai cherché pal de temps, mais j'avoue que j'ai du mal. Voiçi l'énoncé :

(Fn) filtration discrète et t temps d'arrêt à valeurs finies. MQ pour toute variable aléatoire positive Z :

E(Z|Ft) = somme(n=0, infini) 1{t=n}.E(Z|Fn)

P.S : 1 = indicatrice.

Merci d'avance

[daoumourad]

personne pour repondre ??

[BQss]

Bonjour,
J'essaye de faire un exercice, j'ai cherché pal de temps, mais j'avoue que j'ai du mal. Voiçi l'énoncé :

(Fn) filtration discrète et t temps d'arrêt à valeurs finies. MQ pour toute variable aléatoire positive Z :

E(Z|Ft) = somme(n=0, infini) 1{t=n}.E(Z|Fn)

P.S : 1 = indicatrice.

Merci d'avance

mais il n'y a rien a faire

si t=n, 1{t=n} vaut 1 pour t=n et donc il ne reste que E(Z|Fn) pour t=n.
pout t different de n tes termes vallent 0. Tu as donc bien l'egalité trivialement.

Tu ne fais que partionner ta variable aleatoire X(t)=E(Z|Ft) suivant les valeurs de t possible or t est a valeur dans IN, donc tu fais las somme sur IN ...


Si tu as une variable aleatoire Xn indicé par une autre variable aleatoire t par exemple donc Xt et bien cette variable vaut Xt = somme(sur les valeurs de t) 1{t=n}.Xn

[daoumourad]

J'ai pensé à ça au début, mais en réfléchissant bien, le problème st plus profond, car Ft n est pas une filtration normale, elle est définit par :

Ft = {A | pour tout k >= 0, A int. {t <= k} est dans Fk}

La solution étant évidente pour les temps normaux, il faut montrer justement que c'est vrai aussi pour les temps d'arret.

merci

[BQss]

J'ai pensé à ça au début, mais en réfléchissant bien, le problème st plus profond, car Ft n est pas une filtration normale, elle est définit par :

Ft = {A | pour tout k >= 0, A int. {t <= k} est dans Fk}

La solution étant évidente pour les temps normaux, il faut montrer justement que c'est vrai aussi pour les temps d'arret.

merci

Mais non ca ne change rien E(X|Ft) c'est une variable aleatoire quand meme. Tu peux la partionner comme n'importe qu'elle variable aleatoire suivant les valeurs de son indice...
Si n est different de t la fonction indicatrice vaut 0, il ne reste donc dans ta somme plus que le terme d'indice t c'est a dire E(X|Ft), ce n'est pas lié a la definition de la filtration.



E(Z|Ft) est different selon que t=1,2,3,4,5,6 etc on est d'accord?
mais une fois que t est fixé et egal a n E(Z|Ft)=E(Z|Fn) on est d'accord?
Et bien c'est justement le terme qui reste dans ta somme.

= somme(n=0, infini) 1{t=n}.E(Z|Fn)

si t=4 par exemple il ne reste plus que dans ta somme le terme E(Z|F4)
qui est aussi le membre de gauche si t=4.
t est un temps d'arrets il est a valeur dans IN et rien ne t'empeche de partionné suivant sa valeur, apres le resultat est juste un resultat qui n'a rien avoir avec les definition sur les filtrations.