Optimisation linéaire élémentaire à contrainte variable

[rdt]

Bonsoir,

Ci-dessous, une partie d’un problème de programmation linéaire dont j’apporte une réponse qui n’est pas tout à fait conforme à celle du livre, que je ne comprend pas. Je ferai appel à votre sagacité pour résoudre mon incompréhension.

(ci-dessous, tout nombre directement à droite d’un x ou y est un indice de variable; donc y4 peut se lire « quatrième variable  "i grecque" »)

Considérez le problème :
min 16y1 + 6y2 -8y3 -15y4
sous les contraintes :
-y1 +y2 -2y3 -4y4 ≥ -1
2y1 -2y2 -y3 -5y4 ≥ 1
yi ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4

(c) Si la première contrainte est changée en -y1 +y2 -2y3 -4y4 ≥ k, pour quelles valeurs de k la solution du dual se produira-t-elle au même point que pour k = -1?

Conformément à mon livre, je trouve (0, 8) en solution du dual, quand k = -1.
Les contraintes du dual restes inchangées dans le nouveau problème.
Si la solution du nouveau problème est (0, 8), alors le maximum est 8 et la fonction f’ à maximiser est de la forme x2 = 8 -kx1.
Le maximum, avec x1 ≥ 0, est atteint en zéro ssi 8 -kx1 ≤ 8, soit k ≥ 0.

La réponse de mon livre est la suivante (j’ai mis entre crochets ce dont je ne comprend pas l’utilité):
La fonction objectif est changée en kx1 + x2, mais les contraintes restent les mêmes. La solution (0; 8) reste aussi inchangée [à condition que la pente -k de la courbe de niveau x2 = 8 -kx1 passant par (0; 8) reste positive et pas inférieure à la pente 1/2 de la droite -x1 +2x2 = 6. Donc k ≤ 1/2].