Matrice nilpotente d'ordre 3

[alb1du29]

Bonjour,
je suis face à un exercice, je crois que j'ai trouvé la réponse mais je ne suis pas convaincu par mon raisonnement :
Soit . Montrer que A est nilpotente. Existe-t-il telle que ?

Voici ma réponse : par le calcul direct, donc A est nilpotente d'ordre 2. Donc son unique valeur propre est 0. De plus A est de rang 1.
Pour la deuxieme question, j'imagine qu'il faut une réponse un peu "élégante" donc il ne faut pas chercher par des calculs lourds une matrice qui pourrait correspondre (en plus, ce n'est pas sur qu'elle existe).
Supposons qu'une telle matrice existe. Alors et donc est nilpotente d'ordre 4. Or l'ordre de nilpotence de B ne peut excéder 3 donc il n'existe pas une telle matrice.

Voila mon raisonnement, j'ai l'impression qu'il y a quelque chose qui cloche! Pourriez-vous me donner votre avis ?
Merci et bon week-end,
alb1du29

[GaBuZoMeu]

Oui, ton argument est insuffisant. Considère par exemple la matrice

Elle est nilpotente d'ordre 2.
Pourtant, c'est le carré d'une matrice.

Il faut donc ajouter un ingrédient à ton argument. Je pense que tu peux voir une caractéristique de la matrice ci-dessus qui la différencie de la tienne.

[alb1du29]

Oui dans la votre, les deux premières colonnes sont nulles( cela fait apparaitre le noyau) et il ne reste plus que un seul 1 dans la dernière colonne alors que la mienne a tous ses coefficients non nuls et toutes ses lignes proportionnelles. Mais je ne vois pas vraiment d'autres différences...
Je vais essayer de chercher en raisonnement sur les images et les noyaux!

[GaBuZoMeu]

Oups, je n'avais pas bien regardé ta matrice. Il n'y a effectivement aucune différence fondamentale avec la mienne. Peux-tu voir en quel sens il n'y a aucune différence fondamentale ?
Si tu vois, ça te montrera que la conclusion à laquelle tu arrives n'est pas la bonne.

[aviateur]

Bonjour
Soyons clair: je pense qu'on ne peut pas dire que le raisonnement est insuffisant, il est faux.
Si B existe, en effet , ça d'accord et ça veut dire que B est nilpotente.
Là où ça devient incorrect c'est que l'indice de nilpotence de B est p=1,2 ou3. Et il n'y a pas de contradiction avec l'existence de B.
On peut encore pousser l'analyse. Cet indice n'est pas 1 (sinon B=0 et alors A=0, ni 2 sinon B^2=A).

Donc si B existe B est nilpotente d'indice 2. Elle est alors semblable à la réduite de Jordan



Or blalbla...
Pas vu le second message de Gabozumeu. ....

Mais je voulais rectifier l'erreur initiale et avec ce que j'ai mis on peut répondre assez facilement à l'existence mais aussi un calcul explicite.
pour trouver par exemple
Alors une question naturelle est de savoir si la solution que je donne est unique.

[GaBuZoMeu]

Précision : j'avais cru, faute d'avoir bien regardé, que la matrice d'alb1du29 était de rang 2.
Je conseille à alb1du29 de reprendre son raisonnement en supposant que c'est le cas.

[aviateur]

Je parlais de l'erreur initiale de alb1du29. En fait c'est tout bête (i.e l'erreur est grossière)
si par Exemple alors (et aussi )
Si on a une matrice de taille 3 qui vérifie et bien ça peut exister.

[alb1du29]

Bonjour,
merci j'ai bien compris avec ce que vous avez dit que mon raisonnement était faux.
Je ne connais pas la réduction de Jordan mais je crois que je peux arriver à ce que vous dites : Supposons que B existe. Alors B est nilpotente d'indice 3 (pour les raisons que vous avez évoquées). Soit b l'endomorphisme canoniquement associé à B. On dispose de tel que soit une base. La matrice de b dans cette base est bien égale à la votre.
En calculant le carré de la matrice que vous propose, on trouve bien A! Par contre je ne vois pas du tout comment vous y êtes arrivés : avez vous cherché une matrice 3x3 dont le carré vaut A et le cube est nul ? Parce qu'en posant les calculs je trouve des systèmes un peu compliqués et qui ont l'air très dur à résoudre...

[GaBuZoMeu]

Pour trouver une racine carrée, on peut procéder ainsi :
il est facile de trouver une racine carrée de la matrice que j'ai donnée.
On peut voir que la matrice de départ est semblable à la matrice que j'ai donnée et trouver une matrice de passage.
Avec ça on récupère une racine carrée de la matrice de départ.

[alb1du29]

D'accord, merci beaucoup, je fais les calculs et ça me donnera la réponse!
Merci et bonne soirée.