Jeu de wall recherche de la probabilité de chaque chemin

[visual77]

bonsoir
j'essaye depuis plusieurs heures à déterminer mathématiquement de chaque feuille d'un arbre de n niveaux
sachant que pour chaque nœud il n'existe que deux chemins possibles avec la même probabilité de 50%
j'ai facilement trouvé le nombre de chemins possibles qui est de 2^n (n étant le nombre de niveaux)
j'ai aussi trouvé la probabilité des deux chemins externes qui est pour chacun de 1/2^n en effet on doit soit toujours aller à gauche ou à droite
j'ai aussi remarqué uns symétrie par rapport à l'axe central
par contre je n'arrive pas à trouver une règle qui donne la probabilité chaque feuille . Bien sur j'ai la possibilité de construire un arbre de probabilité de 14 niveaux et de calculer le taux pour chaque branche ( je l'ai fait sous excel) , mais cela me convient pas.
existe t'il un moyen de plus mathématique qui donne lie le pourcentage à la position d'un plot sur un rang
par avance merci

[GaBuZoMeu]

Je devine (tu ne l'as pas précisé) qu'au niveau 0 il y a 1 noeud, au niveau 1 2 noeuds , etc. au niveau n n+1 noeuds, qui sont les feuilles dont tu parles (numérotons-les de 0 à n en partant de la gauche).
À chaque niveau k on peut descendre à gauche ou à droite, sur deux noeuds adjacents du niveau k+1, avec probabilité 1/2 pour chaque. (Un dessin serait mieux, mais ce n'est pas à moi de le produire).

Question : si un chemin arrive à la feuille n° j, combien de fois est-il descendu à gauche et combien de fois à droite ?

[visual77]

j'ai fait un dessin sous excel mais comment le joindre au document car on me demande une adresse http pour l'image
le site a t'il une base sur laquelle on peut déposer nos images
concernant ta question
si j'ai 10 boules numérotées de haut en bas et gauche à droite de 1 à 10 soit 4 niveaux en numérotant le 1 le premier niveau j'ai pour la feuille 7 (extrémité gauche ) 3 descentes à gauche soit un % de 1/8 (1/2)^3
pour la feuille 10( extrémité droite) 3 descentes à droite
pour la feuille 8 (seconde feuille à partir de la gauche j'ai dans l'absolue deux gauches et une droite
j'ai l'impression qu'il existe un lien entre le rang et le nombre de gauches et de droites

[GaBuZoMeu]

Tu héberges ton dessin sur ton hébergeur d'images préféré et tu mets l'adresse dans ton message.

Je ne numérote que les feuilles (au dernier rang n). De gauche à droite, ça va de la feuille 0 à la feuille n. Je répète ma question ;
Pour arriver à la feuille n°i, combien de descentes sur la gauche et combien sur la droite (en tout, n descentes pour passer du niveau 0 au niveau n) ?

[visual77]

pour obtenir la feuille 0 du niveau 3 j'ai fait 3 gauche
pour la 1: 2 gauche 1 droite ou 1 droite 2 gauche
pour la 2: 2 droite un gauche ou 2 gauche 1 droite
pour la 3 : 4 droite

[visual77]

je rectifie et joins une photo
pour obtenir la feuille 0 du niveau 3 j'ai fait 3 gauche
pour la 1: 2 gauche 1 droite ou 1 droite 2 gauche
pour la 2: 2 droite un gauche ou 2 gauche 1 droite
pour la 3 : 3 droite

[GaBuZoMeu]

Si tu fais n-k descentes à gauche et k à droite (dans n'importe quel ordre), tu aboutis à la feuille n° combien au niveau n ?

Raté pour l'inclusion d'image !

[visual77]

Pour le lien j'ai essayé avec un clic droit et ouvrir le lien
Concernant ta question pour n=3:
Si je fais n descente à gauche je tombe sur la feuille k=0
Si n-1 feuille 1
n-2 feuille 2
N-4 feuille 4
Je n'arrive toujours pas à voir le lien avec la probabilité pour chaque feuille

[GaBuZoMeu]

Ne peux-tu pas compter le nombre de chemins de longueur n dans lesquels tu fais k descentes à droite (et donc n-k à gauche) ?

[pascal16]

donner une réponse pour 14 niveau, ça demande d'avoir vu le triangle de Pascal (ou les coefficients binomiaux).

tu les as vus ?

[visual77]

non je ne l'ai pas vu mais j’essaye de trouver une "loi" qui me permet de passer d'un niveau à un autre

[GaBuZoMeu]

Ècoute, se lancer là-dedans sans connaître le triangle de Pascal / les coefficients du binôme / la loi binomiale, ça me paraît un peu de la folie. Je te conseille donc de te renseigner là dessus. Je te conseille aussi de te renseigner sur la planche de Galton.

[pascal16]

tu peux retrouver les relations entre un élément du kième niveau et ceux du niveau précédent.

[GaBuZoMeu]

J'ajoute dans les mots-clés : combinaison (de k parmi n).

[visual77]

justement j'ai remarqué sur les premiers niveaux que le nombre de chemins des extrêmes gauche et droit est toujours 1 et pour la position k sur un niveau n le nombre de chemins est égal à la somme de k + k-1 du niveau inférieur n-1
puis je généraliser ce raisonnement ?

[GaBuZoMeu]

Bravo, tu viens de retrouver le triangle de Pascal !

[visual77]

c'est super mais mon raisonnement et empirique puis je le démontrer par un raisonnement par récurrence

[GaBuZoMeu]

???? Si un chemin arrive au noeud k de la rangée n (avec 0<k<n), alors ou bien il arrive par la gauche (c.-à-d. du noeud k-1 de la rangée n-1), ou bien il arrive par la droite (c.-à-d. du noeud k de la rangée n-1), et ces deux possibilités s'excluent mutuellement bien sûr. Donc le nombre de chemins qui arrivent au noeud k de la rangée n est égal à la somme du nombre de chemins qui arrivent au noeud k-1 de la rangée n et du nombre de chemins qui arrivent au noeud k de la rangée n.

[visual77]

cela me convient bien

[GaBuZoMeu]

J'insiste, renseigne-toi sur "nombre de combinaisons" et "triangle de Pascal".