Dérivation d'une formule matricelle par rapport à une matric

[momieinfo]

Bonjour,

je cherche la dérivée de où a est un vecteur colonne de 1 de taille n, est donc le vecteur ligne de 1 de taille n et f(X) est une fonction de (fonction qui donne une matrice ) dont je connais la dérivée .

Est-ce que quelqu'un aurait une idée, merci bien.

[GaBuZoMeu]

Appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées, et le fait que vu que est linéaire, sa dérivée est elle-même.

[momieinfo]

Sa dérivée ne peut pas être elle-même, car est un scalaire or est une matrice de la même taille de X.

[GaBuZoMeu]

Bien sûr que si ! Je parle de . Contestes-tu que ce soit une application linéaire ? Contestes-tu que la dérivée d'une application linéaire, en tout point, soit elle-même ?

[momieinfo]

Plus précisément, je cherche où où . ( étant le produit d'hadamard (terme à terme))

[GaBuZoMeu]

J'avais bien compris ta question et je t'ai répondu. Aurais-tu des difficultés pour appliquer la dérivation des fonctions composées ?
Ta fonction est où . Donc (dérivation des fonctions composées) . Or, puisque est linéaire, . Par conséquent . Puisque tu as calculé (c'est une application linéaire de dans lui-même, pour chaque ), tu n'as plus qu'à composer avec .

Pour commencer, peux tu expliciter ?

Une question : que signifie ?
Ha, je vois que tu as senti entre-temps la nécessité d'en préciser la signification.

Question subsidiaire : la matrice est-elle symétrique ?

[momieinfo]

Ah je viens de comprendre ce que tu viens de dire. Mais le fait que la dérivée soit un scalaire me perturbe car ça ne va pas dans le sens de ce que je veux faire après. Je fais une descente du gradient, j'applique un nombre fixé de fois : où c est une constante que j'ai fixé. La dimension de devrait donc être la même que celle de X.

En tous cas merci pour ta réponse, je dois avoir un problème avec ma fonction à dérivée ou quelque chose d'autre que je n'ai pas bien compris.

(Et oui la matrice B est bien symétrique)

[GaBuZoMeu]

Où est le problème ? est une forme linéaire sur , et cette forme linéaire s'écrit donc (où est le produit scalaire sur , je suppose que tu prends ).

[momieinfo]

Le gradient doit être de la même dimension que X c'est à dire être une matrice n x n. Ce qui est logique vu que dériver par rapport à une matrice c'est dériver par rapport à tous ses .

[GaBuZoMeu]

C'est bien ce que j'écris, non ?
Je recommence : est une forme linéaire sur , qui est une espace euclidien muni du produit scalaire .
Quand on a une forme linéaire sur un espace euclidien , on sait qu'il existe un unique élément de tel que la forme linéaire soit égale à , le produit scalaire avec .
Dans le cas qui nous intéresse, il existe un unique élément (le gradient de en ) tel que . C'est la correspondance classique entre différentielle et gradient : la différentielle est le produit scalaire avec le gradient.

Reprenons les calculs, puisque tu sembles pas mal perdu.

La différentielle de en est donnée par
.
Par l'argument que j'ai rappelé plus haut,
.
Il faut essayer de mettre ça sous la forme "trace ( (transposée d'un élément de ) fois )", et cet élément de sera le gradient de en . Ça tombe bien on a la formule

qu'on peut vérifier sur les matrices élémentaires puisque c'est linéaire en .
On arrive donc à
,
ce qui montre que


Sauf erreur, bien entendu.
PS. aviateur me dit qu'il y a une erreur, j'en ai effectivement trouvé une, voir correction plus bas.

[momieinfo]

Désolé j'ai repris depuis peu les matrices et les mathématiques en général je vais essayer de bien comprendre ce que tu m'as dit, en tous cas merci beaucoup pour le temps que tu as pris et de ton aide.

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir. Je te conseille de te mettre au clair du côté des bases du calcul différentiel, de la notion de différentielle d'une fonction en un point etc., si tu rencontres beaucoup de problèmes de ce type.

[aviateur]

Reprenons les calculs, puisque tu sembles pas mal perdu.

La différentielle de en est donnée par
.
Par l'argument que j'ai rappelé plus haut,
.
Il faut essayer de mettre ça sous la forme "trace ( (transposée d'un élément de ) fois )", et cet élément de sera le gradient de en . Ça tombe bien on a la formule

qu'on peut vérifier sur les matrices élémentaires puisque c'est linéaire en .
On arrive donc à
,
ce qui montre que

Bonjour
@Gabuzomeu je ne suis pas d'accord avec ton calcul. Il y a au moins une erreur qui peut changer le résultat final.

[GaBuZoMeu]

C'est fort possible. Je vois effectivement que j'aurais dû garder tout du long
au lieu de . Merci d'avoir attiré mon attention là-dessus.

Le gradient est donc

si je ne suis pas trompé encore une fois, ce qui est fort possible.

[GaBuZoMeu]

aviateur est passé et n'a rien dit ... on peut peut-être en déduire qu'il ne voit plus d'erreur ...