Programmation linéaire

[rdt]

Salutations,

Le problème de programmation linéaire qui va suivre m’amène à des réponses contradictoires, quelqu’un pourrait-il m’aider à les résoudres?
(Je précise que ce problème est tiré d’un livre de mathématique pour l’économie, niveau licence, mais issu d’un des premiers chapitres, les chapitres le précédant n’étant constitués que de rappels de notions vues au lycée;
dans ce qui suit, tout nombre directement à droite d'une variable x est un indice de cette variable; par exemple x2 doit être lu "x indice 2")

max 3x1 + 2x2

sous les contraintes :
(c1) x1 + x2 ≤ 3
(c2) 2x1 + x2 -x3 ≤ 1
(c3) x1 + 2x2 - 2x3 ≤ 1
(c4) x1, x2 et x3 sont positifs.

(a) Suposez que x3 est un nombre fixé. Résolvez le problème dans les cas x3 = 0 et x3 = 3.
(b) Formulez et résolvez le problème pour n’importe quelle valeur de x3 positive. La valeur maximale de 3x1 +2x2 devient une fonction de x3. Quelle est cette fonction ? Cherchez son maximum.
(c) Les résultats de la partie (b) ajoutent-ils quelque chose à la solution du problème initial, dans lequel x3 pouvait aussi être choisie?


(a) pour x3 = 0, on trouve graphiquement S = (1/3, 1/3), soit l’intersection des droites associées à (c2) et (c3), respectivement 2x1 + x2 -x3 = 1 et x1 + 2x2 - 2x3 = 1;
pour x3 = 3, on trouve graphiquement S = (1, 2), soit l’intersection des droites associées à (c1) et (c2), respectivement x1 + x2 = 3, et 2x1 + x2 -x3 = 1.

(b) dans le cours, on apprend que si une solution existe, c’est nécessairement un sommet de l’ensemble des réalisables; par conséquent, on calcule l’intersection de chaque partie de l’ensemble {e1, e2, e3, Ox, Oy}, (avec ei la droite obtenue en transformant l’inéquation ci en équation, Ox et Oy étant les droites de respectivement l’axe des abscices et des ordonnées);
c’est ici qu’apparait une contradiction car les formules que j’obtiens ne coïncident pas avec les résultats de (a), par exemple :
l’intersection de e1 et e2 est définie par x1 = x3 -2, et x2 = 5 -x3;
l’intersection de e1 et e3 est définie par x1 = -2x3 +5, et x2 = 2x3 -2;
l’intersection de e2 et e3 est définie par x1 = 1/3, et x2 = 1/3 +x3;
la fonction à maximiser est alors dans chacun de ces cas uniquement fonction de x3;
d’après (a), pour x3 = 0, la solution est l’intersection e2 et e3; or en remplaçant x1 et x2, par les coordonnées et x3 par 0, dans la fonction à maximiser, on constate que c’est l’intersection de e1 et e3 qui admet le plus grand transformé.
D’où viennent ces contradictions?

Merci d’avance

[GaBuZoMeu]

d’après (a), pour x3 = 0, la solution est l’intersection e2 et e3; or en remplaçant x1 et x2, par les coordonnées et x3 par 0, dans la fonction à maximiser, on constate que c’est l’intersection de e1 et e3 qui admet le plus grand transformé.
D’où viennent ces contradictions?

Pas de contradiction : pour , on a pour l'intersection de et les coordonnées et l'ordonnée n'est pas positive !! Et elle ne satisfait pas non plus la contrainte . On ne prend en considération que les intersections (aussi les intersections avec les axes, à ne pas oublier) qui satisfont toutes les contraintes.

[rdt]

Par Al-Khwarizmi, vous avez raison!
La fin m'a fait oublier les moyens

Je vous remercie n +1 fois

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.