Fonctions en Z/nZ

[Mavil]

Bonjour, je voudrais savoir comment argumenter que les fonctions sont bijectives dans Z/77 Z. Si oui il faut donner la réciproque.

a) f(x) = 38x+2
b) f(x) = x^30

[aviateur]

Bonjour
Bon déjà il faut revenir à la définition:

Si on commence par le a) f(x)=38x+2

Dire que f est bijective ça veut dire qu'elle injective puis surjective

Vérifions qu'elle est bien injective, i.e si f(a)=f(b) est-ce ça implique que a=b?

f(a)=f(b) ssi 38 a+ 2= 38 b + 2 ssi 38(a-b)=0 (calculs dans Z/77 Z).

Maintenant 38 est inversible dans Z/77Z (tu vois pourquoi?)
Au demeurant son inverse c'est -2 car 2 * 38=76=-1 donc
(-2) * 38 (a-b)=a-b =(-2) 0 =0
i.e a=b.
Voilà pour le début...
Pour la surjectivité il faut montrer que pour tout y ds Z/77Z il existe x tel que y=38x+2.
Mais si on réfléchit un peu on peut conclure immédiatement. ...

[Mavil]

J'ai reussi à arriver a 38(a-b)=0 mais la j'etais bloqé parce que je croyais que pour l'inverse on a 38x congru 1 (mod 77) et pas -1(mod 77) et donc je pouvais pas trouver des solutions. C'est la meme chose?

[GaBuZoMeu]

aviateur te dit que puisque , alors . L'inverse de 38 modulo 77 est donc .

[mathelot]

bonjour,
comme
Les lignes suivantes sont equivalentes :







f est donc bijective et la bijection réciproque de f est

[GaBuZoMeu]

Fallait-il vraiment faire l'exercice à la place de Mavil ? On peut penser qu'il avait eu suffisamment d'aide pour pouvoir continuer par lui-même, non ?
Voir la "note aux correcteurs" dans la charte du forum.

[chan79]

salut
Pour la b), on peut calculer f(2) et f(3). Une simple calculatrice suffit.

[GaBuZoMeu]

f(1) et f(-1) ne suffisent-ils pas ? Même pas besoin de calculatrice.

[chan79]

oui, bien-sûr
On pourrait aussi chercher l'image de f.