donc si m-1 est premier, il n'est pas optimisé.
GaBuZoMeu a écrit:@Dacu : oui.
@aviateur : ton raisonnement pour montrer que 2016 est le plus petit entier k>0 tel que 10^k=1 mod 2017 est incorrect. Je te laisse trouver ton erreur et la réparer.
Un indice : on a 10^51 = -1 mod 103, mais 102 n'est pas le plus petit entier k>0 tel que 10^k=1 mod 103.
Par ailleurs, je suis convaincu que tu n'as pas vérifié "à la main" que 10^1008 = -1 mod 2017. Une bonne dizaine de multiplications modulo 2017, ça calme. Et pour faire une vérification correcte, il faudra en faire à vue de nez le double !
Un entier k tel que 10^k=1 mod 2017 divise de 2016. Soit k le plus petit entier qui répond à la question. Alors 2016- k divise aussi 2016, la seule possibilité est donc k=1008. Mais un calcul rapide donne 10^1008=-1.
GaBuZoMeu a écrit:@aviateur. Je peux te rappeler le seul argument que tu aies écrit à l'appui de ton affirmation, au début de ce fil :Un entier k tel que 10^k=1 mod 2017 divise de 2016. Soit k le plus petit entier qui répond à la question. Alors 2016- k divise aussi 2016, la seule possibilité est donc k=1008. Mais un calcul rapide donne 10^{1008}=-1.
J'ai mis en rouge ce que je conteste.
Bon, je reviens sur la vérification du fait que 2016 est le plus petit entier k>0 tel que 10^k=1 mod 2017.
Il ne suffit pas de montrer que 10^1008 n'est pas 1 mod 2017. Comme
2016 = 2^5 x 3^2 x 7,
il faut aussi montrer que 10^672 et 10^288 sont aussi différents de 1 mod 2017. (672=2016/3 et 288=2016/7)
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