Integrale + Suites

[zerow2001]

Bonjour !
Je suis bloquée dans la troisième question d'une partie au milieu d'un exercice :
n dans IN*
On a :


I =
J =
et

Les questions :
1) Calculez I
Ma Réponse :
2) Deduire J
Ma Réponse :
3) Montrez que pour tous :

4) Montrez que :

5) Déduire que Un est convergente et trouvez sa limite

Svp aidez moi

[zerow2001]

J'ai répondu à la derniere question mais j'ai pas répondu à 3 et 4 svp aidez moi

[pascal16]

la 3:
quand y=tu encadres par la méthode des rectangle une intégrale, tu as, sur un rectangle de largeur 1/n placé en k iéme position
posons Ik= [1+k/n; 1+(k+1)/n]
Ik divise [1;2] en n segments de taille identique et ordonnés selon k

(1/n)*min(f) ≤ l'intégrale de f sur Ik ≤ (1/n)*max(f)
le min et le max sont prix eux aussi dans l'intervalle Ik

si f est monotone, le min et le max sont atteint aux bornes, c'est à dire en f(1+k/n) et f(1+(k+1)/n)
d'où le résultat (il faut donc la monotonie de f sur [1;2]pour conclure avec 1 seul calcul)

[zerow2001]

j'ai pas bien compris cette methode

[zerow2001]

comment Ik ? tu veux dire k ?

[zerow2001]

cette partie : "sur un rectangle de largeur 1/n placé en k iéme position
posons Ik= [1+k/n; 1+(k+1)/n]
Ik divise [1;2] en n segments de taille identique et ordonnés selon k"

[pascal16]

i pour intervalle k comme indice :

[capitaine nuggets]

Salut !

3) Montrez que pour tous :

En remarquant que la différence des bornes de l'intégrale vaut , et que et ne dépendent pas de , on a :

.

Donc si tu arrives à montrer que pour tout , on a , tu auras gagné. Or est continue sur l'intervalle fermé , donc atteint ses bornes et pour tout , . Montre que est strictement monotone sur et déduis-en alors , puis l'encadrement .

4) Pour cette question il faut utiliser l'inégalité précédente : . La clé c'est de trouver le moyen de passer de à J. Pour cela, il suffit de remarquer que .

[zerow2001]

pour la 3) on vas deduire seulement min(f) < f < max(f) mais comment on va avoir le 1/n dans les deux cotés ? merci

[pascal16]

la surface d'un rectangle, c'est sa largeur (ici 1/n) multiplié par sa hauteur (ici f(1+k/n))
et comme 1/n est constant sur la somme, on peut le mettre en facteur, ie, le sortir de la somme

[zerow2001]

j'ai pas compris la notion d'un triangle : pourquoi sa hauteur est f(1+k/n) c'est toi qui a choisi cette hauteur ?

[zerow2001]

*Du rectangle*

[pascal16]

https://www.youtube.com/watch?v=FvQg8LgbW18

[zerow2001]

j'ai regarder la video et une autre video mais je peux pas mieux comprendre pourquoi tu as poser la hauteur f(1+k/n) seulement pourquoi

[zerow2001]

https://youtu.be/908t0AeO3Ck?t=141

[zerow2001]

Si j'ai compris ces deux relations (demonstration) ca va etre plus simple pour répondre

[zerow2001]

j'ai compris geometriquement, j'ai dis si f est croissante sur [a,b] alors si on dessine un rectangle, sa longueur est (b-a) et ca largeur est f(a), alors l'integrale de f(x) entre a et b va etre grand que cette surface, dessine là et tu vas voir.
et si on dessine un plus grand rectangle, sa longueur est (b-a) aussi mais ca largeur est f(b), alors l'integrale de f(x) entre a et b va etre petit en le comparant avec cette surface.
alors on posant : a=1+k/n et b =1+(k+1)/n (comme calcul : b-a=1+(k+1)/n-1+k/n=1/n) alors :
l'integrale de f(x) est entre 1/n * f(1+k/n) et 1/n * f(1+(k+1)/n)
correct ?
on a f continue+strictement croissante sur [1,+oo[

[pascal16]

oui, on encadre simplement f sur [1+k/n; 1+(k+1)/n] entre deux rectangles, l'intégrale de f est alors comprise entre les deux surfaces des rectangles (comptées avec un signe si la fonction a des valeurs négatives)

f positive croissante sur [1+k/n; 1+(k+1)/n]

l'integrale de f(x) sur [1+k/n; 1+(k+1)/n] est comprise entre 1/n * f(1+k/n) et 1/n * f(1+(k+1)/n)

[zerow2001]

Oui, c'est compris !
mais la 4ème question ?

[pascal16]

si l’inégalité est vraie pour k et n fixés, elle est vraie aussi sur la somme, qui encadre J.
et dans l'inégalité, k peut varier de 0 à n-1.

du coup, une fois le changement d'indice fait, on retrouve à 1 terme près Un.

Bref, c'est juste la somme qui permet de minorer et majorer l'intégrale par la méthode des rectangles