Montrer l'existence d'une intégrale.

[Engel10]

Bonsoir à tous. J'espère que vous allez bien.
OK voici un petit problème où on me demande de montrer l'existence de cette intégrale.
Soit a > 0 et k ∈ N
capital one atm locations

Je sais que pour se faire, il va falloir montrer que la fonction à intégrer est continue sur [0,1] mais le problème que j'ai est que si mon a > 1 alors la fonction à integrer est prolongeable par continuité en 0 d′où elle est integrable sur [0,1]. Par contre si 0<a<1 alors j ai un problème.

Merci d′avance pour votre aide.

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Connais-tu quelques critères de convergence d'une intégrale impropre ? Intégrale de Riemann, ça te dit quelque chose ?

[pascal16]

façon pas trop prise de tête
en 0 : (1-x) tend vers 1, il est donc compris entre 0.99 et 1.01 en dessous d'une certaine valeur xo

tu découpe ton intégrale en 2 en xo

la partie de droite converge.

la partie de gauche est encadrable par 0.99 et 1.01 fois l'intégrale de 0 à xo de x^(a-1) dont les critères de convergence sont connus.

[Engel10]

façon pas trop prise de tête
en 0 : (1-x) tend vers 1, il est donc compris entre 0.99 et 1.01 en dessous d'une certaine valeur xo

tu découpe ton intégrale en 2 en xo

la partie de droite converge.

la partie de gauche est encadrable par 0.99 et 1.01 fois l'intégrale de 0 à xo de x^(a-1) dont les critères de convergence sont connus.

Bonjour stp je ne comprend pas bien ton cheminement

[aviateur]

Bonjour
D'abord est négatif sur [0,1] alors de préférence je remplace par dans l'intégrale ce qui permettra de réfléchir avec une fonction positive sous le signe somme:
On a donc

Ensuite ce qui est bien connu c'est que si la fonction sous le signe somme est continue ou prolongeable par continuité, la fonction est intégrable.
Ainsi pour et tout $ on est dans ce cas là et la fonction est intégrable.

Le seul problème c'est donc quand

Dans ce cas la fonction est continue sur mais n'est pas prolongeable par continuité en .
En effet tend vers quand x tend vers 0.
On a une intégrale généralisée. On regarde alors le comportement de f(x) au voisinage de 0.
On a (et garde un signe constant >0).
Le cours dit que à même nature que

Or pour on a:
quand tend vers 0 (car a est positif. )
Cette dernière intégrale est convergente donc l'intégrale est convergente

[Engel10]

Merci beaucoup