Arithmetique

[glois]

Montrer que si a et b sont premiers entre eux alors a+b et a.b aussi

[chan79]

Bonjour
Il manque quelque chose.

[glois]

Bon jour c'est tout l'énoncé que j'ai

[chan79]

OK c'est bon
donc a et b sont premiers entre eux
Supposons que d (différent de 1) divise a+b et ab
Comme il divise ab, d divise a ou b mais pas les deux (car a et b sont premiers entre eux)
Supposons que d divise a
Comme il divise a+b , il divise b
contradiction

[capitaine nuggets]

Salut !

1.a) Commence déjà par montrer que a et b sont premiers entre eux alors a et a+b sont premiers entre eux.
b) Déduis-en alors que si a et b sont premiers entre eux alors b et a+b sont premiers entre eux.
2. Montre alors que si a est premier avec a+b et b est premier avec a+b, alors ab est premier avec a+b.

C'est que de l'utilisation de la relation de Bézout

[GaBuZoMeu]

Supposons que d (différent de 1) divise a+b et ab
Comme il divise ab, d divise a ou b mais pas les deux (car a et b sont premiers entre eux)

Oh la la !
Prenons a=10 et b=21. Alors d=6 est différent de 1 et divise ab, mais il ne divise ni a ni b.
Chan79, tu donnes une solution complète (ce qui me semble contrevenir à la charte) mais avec, au moins, une omission grave dans l'argument.

Le chiant de service.

[chan79]

Prenons a=10 et b=21. Alors d=6 est différent de 1 et divise ab, mais il ne divise ni a ni b.
Le chiant de service.

On dit que a et b sont premiers entre eux !
Par ailleurs, il n'est pas souhaitable de rédiger en détails; c'est à l'auteur de la discussion de le faire

[aviateur]

Je crois que @chan, tu voulais dire d que d est un diviseur premier.

Bon maintenant sous forme d'énigme: est-il possible de faire autrement que @chan en plus compliqué mais...?
C'est à dire que, on a la relation de Bezout au+bv =1 alors trouver une relation de Bezout satisfait
par (a+b) et ab.

[GaBuZoMeu]

Chan 79, tu inventerais donc le théorème suivant
" Si a et b sont premiers entre eux et si d divise ab, alors d divise a ou d divise b" ?
L'exemple que j'ai donné est un contre-exemple à ce "théorème" .
Ou alors tu penses que 10 et 21 ne sont pas premiers entre eux ?

[GaBuZoMeu]

Une piste différente :

[aviateur]

Ok pour la piste différente et c'est terminé.

[chan79]

Chan 79, tu inventerais donc le théorème suivant
" Si a et b sont premiers entre eux et si d divise ab, alors d divise a ou d divise b" ?
L'exemple que j'ai donné est un contre-exemple à ce "théorème" .
Ou alors tu penses que 10 et 21 ne sont pas premiers entre eux ?

oui, j'ai raconté des âneries !!!
Je reprends:
Soit d un diviseur commun (différent de 1) à a+b et ab
Dans la décomposition en facteurs premiers de d, il y a un nombre premier d'
d' divise ab donc d' qui est premier divise a ou b mais pas les deux
Or s'il divise par exemple a, il divise a et a +b donc il divise leur différence b
contradiction
Espérons que ça va aller

[aviateur]

Il suffit dans ta démo initiale de considérer que d est un diviseur commun qui est premier.