Encadrement des solutions d'une équation.

[Claire85]

Salut !
Je suis tombée sur l'exercice suivant :
x^5 - x^3 + x - 5

L'énoncé : "Donnez le nombre de solutions de l'équation proposée, et un encadrement d'amplitude 10^-2 de chacune des solutions."

Le corrigé me donne : f'(x) = 5x^4 - 3x^2 + 1 (jusqu'à là, pas de problèmes )
Posons X = x^2 donc 5X^2 - 3X + 1 > 0 pour tout X (delta <0)
D'où les variations ...
Le tableau de variations montre l'existence d'une solution unique alpha. On trouve -1.67 < alpha < - 1.66

J'ai bien essayé sur ma calculatrice (Casio graph 35+) le menu 'Table', etc. Mais je ne vois pas trop ce que signifie alpha et comment le calculer. Quelqu'un pourrait m'aider ?

[Lostounet]

Salut !
Je suis tombée sur l'exercice suivant :
x^5 - x^3 + x - 5

L'énoncé : "Donnez le nombre de solutions de l'équation proposée, et un encadrement d'amplitude 10^-2 de chacune des solutions."

Le corrigé me donne : f'(x) = 5x^4 - 3x^2 + 1 (jusqu'à là, pas de problèmes )
Posons X = x^2 donc 5X^2 - 3X + 1 > 0 pour tout X (delta <0)
D'où les variations ...
Le tableau de variations montre l'existence d'une solution unique alpha. On trouve -1.67 < alpha < - 1.66

J'ai bien essayé sur ma calculatrice (Casio graph 35+) le menu 'Table', etc. Mais je ne vois pas trop ce que signifie alpha et comment le calculer. Quelqu'un pourrait m'aider ?

Salut,
Comme tu as montré que f' est positive strictement sur R, cela signifie que la fonction initiale f est strictement croissante sur R. Ils appliquent ensuite le théoreme des valeurs intermédiaires: f est continue et strictement croissante donc elle s'annule exactement une fois sur l'intervalle considéré (ici R).

Ce "alpha" est selon moi proche de 1.46. En effet, f(1) = -4
Et f(2) = 2^5 - 2^3 + 2 - 5 = 21

Donc la fonction passe du négatif au positif quand x passe de 1 à 2 donc forcément la solution de f(x) = 0 est un nombre compris entre 1 et 2.
On ne te demande pas de calculer exactement "alpha" vu que ce n'est mathématiquement pas possible de l'exprimer sous forme exacte (avec des racines carrées, etc).

[aviateur]

Bonjour
Il y a une chose qui est sure : c'est que soit l'énoncé que tu donnes est faux ou alors le corrigé est faux.
EN effet si ton énoncé est correct. Ta fonction est strictement croissante et ne s'annule qu'une fois.
Mais f(0)= - 5. Donc \alpha >0 (et ne peut valoir -1.66....)

[pascal16]

pareil "x^5 - x^3 + x - 5" ne semble pas s'annuler plusieurs fois, graphiquement, en raisonnant sur les points d'inflexion, on peut remonter vers les valeurs particulières du tableau de variation et avoir 1 seul sol (x=1.41 à 0.01 près)

[pascal16]

PS : f' est elle en forme de W et ses variation peuvent se faire niveau lycée en posant X=x², mais elle est strictement positive

[aviateur]

Mais de toute façon sans graphique, on doit voir que f'(x)=4 x^4-3*x^2+1>0 (car 4x^2-3x+1>0 pour tout x).
Alors la fonction f est continue, strictement croissante, et un coup d'oeil sur les limites en
montre que f s'annule une seule fois en vertu du théorème des valeurs intermédiaires.

De plus f(1)=-4 et f(2)=21 nous dit que
Ensuite j'ai vérifié mais le alpha qui est donné est faux aussi bien pour le signe que la valeur absolue.

[Claire85]

Merci pour les réponses ! Mon corrigé s'était déjà trompé une fois ou deux. C'est plutôt ennuyeux pour progresser en maths !